Sources en vracs 2 (LaTeX) : "utilitaires" pour le capes mathématiques 2006 (fait le 31/07/2007) version 0.0.2 Auteur : Gwendal Haudebourg (http://gwendal.haudebourg.free.fr) N'hésiter pas à m'envoyer vos correctifs, modifications, conseils, etc, de manière à améliorer ces utilitaires (ds la mesure de mes capacités et de mon temps...). Merci ! Histoire des sciences HdS2 Calculatrice Anneaux et corps Arithmétique Aide mémoire Latex \documentclass[a4paper,10pt]{article} % Ici se trouve l'entête (préambule) \usepackage[francais]{babel} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage{graphicx} \usepackage[latin1]{inputenc} %\usepackage{isolatin1} \usepackage{amsmath} \usepackage{amscd} \usepackage{amstext} \usepackage{amsbsy} \usepackage{amsopn} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsxtra} \usepackage{upref} \usepackage{euscript} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage[all]{xy} \usepackage{vmargin} \usepackage{enumerate} % \def\myhfill{% \parfillskip=0pt% \widowpenalty=10000% \displaywidowpenalty=10000% \finalhyphendemerits=0% \unskip\nobreak\null\hfil\penalty50% \hskip2em\null\hfill% } % \def\qedsymbol{\ensuremath\square} \def\qed{\myhfill\qedsymbol\par} \def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}} \def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}} \def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}} \def\TT{\ensuremath{\mathbb{T}}} \def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}} % % \parindent=0pt \setmarginsrb{2cm}{1cm}{2cm}{1cm}{1pt}{10pt}{10pt}{20pt} %\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} % {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page. \date{} % \title{Mathématiciens} %\author{Gwendal} \newenvironment{pluslong}[2][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}% {\end{flushleft} } % % \newenvironment{pluslong2}[2][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{moyen}[1][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1\\} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{moyen2}[1][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{court}% {\begin{flushleft} \textup}% {\end{flushleft} } % % \newenvironment{preuve}[1][]% {\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}% {\qed\end{flushleft}} % \begin{document} %\maketitle %\tableofcontents % (table des matières) %\newpage \begin{center} \begin{LARGE} Mathématiciens \end{LARGE} \end{center} % %\vspace{1.5cm} \section{mathématiciens} \subsection{Abel Niels-Henrik (1802-1829)} répond à la question : "peut-on résoudre algébriquement une équation de degré 5 ou plus ?" Réponse : non\\ -Critère d'Abel (critère de CV sur les séries alternées ex : $\dfrac{(-1)^{n}}{n}$, idem pour les intégrales, ex : $\int \dfrac{sint}{t}$) \subsection{Alembert Jean le Rond d' (1717-1783)} -th. de D'Alembert : tout polynôme à coefficients ds $\CC$ a toujours une racine dans C\\ (conjecturé par Girard, démontré par Gauss-presque démontré par D'Alembert)\\ -critère de d'Alembert pour les séries $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ \subsection{Al Kashi (1436 environ) } Astronome et mathématicien persan, l'un des derniers de l'école de Samarkand. Vrai nom : Ghyat-Al-Din-Jamshid Kashani \subsection{Al Khwarismi ou Alkhovarizmi (788-850)} -mathématicien et astronome (originaire de ce qui est aujourd'hui l'Ouzbekistan), vit à Bagdad\\ -Résolution d'équations de $1^{er}$ et $2^{eme}$ degrés.\\ -latinisé, Al Khwarismi nous donnera le mot Algoritmi (algorithme) \subsection{Apollonius de Perge (262-190 avant J.-C. environ)} -astronome, mathématicien grec\\ -Sections coniques (définition par sections planes de cônes "doubles") \subsection{Archimède de syracuse (vers 287-212 avant J.-C.)} -il est avec Euclide le plus grand mathématicien de l'antiquité\\ -Travail sur les coniques, direction assymptotique, quadrature de la parabole, arithmétique, sphères, cylindres\\ -approximation de $\pi$ (inscrit et circonscrit au cercle un polygone régulier de 96 côtés).\\ -La légende raconte que, Syracuse étant envahie par les Romains, Archimède était occupé à étudier une figure géométrique sur le sable, se fait tuer par un soldat Romain à qui il demandait de ne pas écraser son dessin.\\ -sur sa tombe : dessin sur laquelle une sphère est inscrite dans un cylindre (pour rappeler que le volume de la sphère est $\dfrac{2}{3}$ de celui du cylindre dans lequel il est inscrit, et que son aire est 4 fois celui du cercle). \subsection{Banach Stefan (1892-1945)} -espace de Banach \subsection{Bernouilli Jacques (1654-1705)} Admirateur et propagateur des idées de Leibniz, inventeur des coordonnées polaires (avec Newton), probabilitées (combinaison, loi des grands nombre).\\ Ainé d'une ligne familiale de brillants mathématiciens (son père Jean, ses neveux Nicolas et Daniel). \subsection{Bézout Etienne (1730-1783)} -Théorème de Bezout \subsection{Cantor Georg (1845-1918)} -théorie des ensembles (l'infini est-il quantifiable ? Peut-on compter les éléments de $\RR$ ?) -hyptohèse du continu -convaincu que le véritable auteur des drames shakespearien est Francis Bacon, il fait des recherches pour convaincre le monde entier.\\ -hôpital psychiatrique, où il meurt à 73 ans \subsection{Cardan Jérôme} Jérôme \textbf{Cardan} (1501-1576)\\ En 1545, Cardan fait publier son Ars Magna (1545), où il résoud les équations de $3^{eme}$ (''formule de Cardan'') et $4^{eme}$ degrés (par Ferrari, élève de Cardan).\\ Tartaglia réagit vivement, et la lutte se fera principalement par l'intermédiaire de Ferrari.\\ La légende raconte que Ferrari meurt empoisonné par sa soeur (à 43 ans), Cardan voit son premier fils empoisonner sa femme (pour jalousie) puis exécuté, son second fils le vole et devient un vagabond. Cardan est lui même emprisonné et voit ses biens confisqués. Il détruit 120 de ses ouvrages. Il finit ses jours à Rome, où il reçoit une modeste pension du pape. On raconte qu'il se suicidat (le 21 sept. 1576) pour ne pas faire mentir son horoscope. \subsection{Carmichael Robert Daniel (1879-1967)} -nombre de Carmichael \subsection{Cauchy Augustin-Louis (1789-1857)} Père du calcul intégral pour les fonctions continues, etc...\\ Royaliste irréductible, sa carrière professionnelle ne cessa de fluctuer entre promotions, mises à l'écart, etc., suivant le pouvoir politique en place.\\ -méthode de Cauchy \subsection{Darboux Jean-Gaston (1842-1917)} -th. de Darboux \subsection{Descartes René (1596-1650)} Considéré comme le principal inventeur de la notion de repère (repère "Cartésien") : les problèmes de géométrie sont ainsi ramené à des calculs algébriques (ex : équations de premiers, deuxièmes degrés, etc...). A introduit la notion d'équations dans un repère des coniques. \subsection{Diophante (325-409 avant J.-C.)} -équations diophantiennes \subsection{Dirichlet Peter Gustav(1805-1859)} -th. de Dirichlet \subsection{Eratosthène (284-192 avant J.-C.)} -crible d'Eratosthène \subsection{Euclide (315-255 avant J.-C. environ)} -Les éléments d'Euclide : regroupe toutes les connaissances mathématiques de son époque (13 livres).\\ -les 4 premiers : géométrie; 5,6 : théorie des proportions; 7,8,9 : théorie des nombres (d'où l'algorithme d'Euclide); 10 : méthode d'exhaustion (due à Eudoxe); 11,12,13 : géométrie dans l'espace.\\ -Postulats d'Euclide : 5 assertions (postulats) qu'Euclide ne cherche pas à démontrer (ex : par un point, il ne passe qu'une droite parallèle à une droite donnée), +5 notions communes (=axiomes) qu'il considère découler du bon sens.\\ -Espace vectoriel Euclidien, Division Euclidienne, algorithme d'Euclide, Anneau Euclidien. \subsection{Euler Leonhard (1707-1783)} -Beaucoup de choses\\ -Introduit le symbole $i$ pour la première fois en 1777 (pour remplacer la notation plus ambigües $\sqrt{-1}$\\ -Célèbre aussi pour $e^{i\pi}=-1$ \subsection{Fermat Pierre Simon de (1601-1665)} -Juriste de profession, le "prince des amateurs"\\ -Pionnier du calcul différentiel (extremums, tangentes)\\ -petit théorème de Fermat\\ -théorème de Fermat (prouvé par Andrew Wiles en 1994)\\ \subsection{Ferrari Luigi (1522-1565)} Ferrari, élève de Cardan), opposé dans la lutte Cardan-Tartaglia. Résoude les équations du $4^{eme}$ degrés. La légende raconte que Ferrari meurt empoisonné par sa soeur (à 43 ans) \subsection{Fibonacci Léonardo (ou Léonard de Pise) (1175-1240 environ)} -lien entre les mathématiciens arabes et occidentaux (en particulier : introduction des nombres arabes en occident).\\ -suite de Fibonacci \subsection{Fourier Baron Jean-Baptiste Joseph (1768-1830)} -séries de Fourier \subsection{Galois Evariste (1811-1832)} Collège "Louis-le-Grand" à Paris, puis découvre son amour des mathématiques en redoublant sa classe de seconde, il étudie les "Eléments de Géométrie" de Legendre, puis les traités de Lagrange, étudie Euler, Gauss, Jacobi. Ses professeurs le décrivent "frondeur, singulier, bavard", ou "bizarre dans ses manières", un autre dit "c'est la fureur des mathématiques qui le domine". A 17 ans, il pense avoir trouvé seul une méthode générale pour résoudre les équations du $5^{ieme}$ degré (problème majeur sur lequel se cassent la tête les plus grands mathématiciens de son temps). Il se présente (sans préparation) à l'Ecole polytechnique où il échoue une première fois. L'année suivante il dépose un manuscrit "Recherches sur les équations algébriques de degré premier", dans lequel il montre qu'une équation de degré $\geq 5$ ne peut pas être résolu par radicaux (ie en utilisant addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racine). Pour ce faire, il a mis en place un outil très puissant : la théorie des groupes. Le manuscrit est remis à Cauchy.\\ Evariste Galois se représente à Polytechnique où il échoue de nouveau, se rabat sur lEcole préparatoire, dont il se fait exclure deux mois plus tard. L'Académie des sciences perd le manuscrit de Galois, qui doit tout recommencer à zéro. Son deuxième mémoire est remis au baron Fourier, qui meurt avant d'avoir pu le lire. Son mémoire est de nouveau perdu parmi les nombreux papiers de Fourier.\\ Galois devient républicain, s'engage dans l'artillerie de la Garde Nationale. Excédé par l'attitude de l'Ecole préparatoire (redevenue Ecole normale supérieure), il fait paraître dans la "Gazette de l'école" une lettre qui dénonce le conservatisme du directeur, dont il est alors exclu.\\ Il réécrit son mémoire qu'il donne à Poisson, et parallèlement, multiplie les incidents, fait de la prison (les autorités voient en lui l'un des meneurs des républicains). Poisson rend son verdict : c'est un plagiat du manuscrit d'Abel, peu clair et peu développé. Il est condamné à 6 mois de prison (pour avoir porté l'uniforme de la Garde Nationale, dissoute, ainsi qu'un poignard et une carabine chargée). Au printemps 1832, il s'éprend d'une jeune fille (première et dernière histoire d'amour). Il se dit "désenchanté de tout".\\ Quelques jours plus tard, il est provoqué en duel pour "une infâme coquette" qui aurait abusé de "deux dupes". Il meurt à l'issue de ce duel à l'âge de 20 ans.\\ L'oeuvre de Galois que l'on a retrouvé tient en 60 pages. Jamais une oeuvre aussi courte n'avait révolutionné de façon si profonde les mathématiques. La théorie de Galois sortira de l'ombre en 1846. \subsection{Gauss Karl Friedrich (1777-1855)} -plein de trucs\\ -th. de Gauss (arithmétique)\\ -courbe de Gauss\\ -pivot de Gauss -Théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme peut se factoriser en produit de polynômes de degré 1 ou 2 \subsection{Gödel Kurt (1906-1978)} -Le théorème de Gödel \subsection{Grasmann Hermann (1809-1877)} Père du calcul scalaire \subsection{Hermite Charles} Montre en 1873 que $e$ est transcendant (en plus d'être irrationnel) \subsection{Hospital Guillaume (marquis et compte) (1661-1704)} Mathématicien français; suit les cours de Jean Bernouilli, dont t-il publie (après un arrangement financier) sous son propre nom un certains nombres de résultats (dont le théorème dit "De L'Hospital"). Cette supercherie sera dénoncé par Bernouilli à la mort de son élève. \subsection{Huygens Christiaan} Physicien, mathématiciens, mécanicien, astronome, mathématicien \subsection{Lagrange Joseph Louis (1736-183)} Mathématicien français; un des plus grand mathématicien de son époque, oeuvre immense : mécanique, analyse, groupes de permutations, prémices de la théories des groupes, théorie des fonctions, équations différentielles, etc...\\ Après la mort de sa première femme, il se remarie. Il affirme alors que de tous les prix du monde, celui qui a le plus de valeur est sa jeune femme (de 40 ans sa cadette...). \subsection{Lebesgue Henri (1875-1941)} Répond à la question : "Quelles sont les fonctions admettant des primitives ?" \\ (les fonctions continues en admettent, certaines fonctions non-continues en admettent, etc...)\\ Integrales au sens de Lebesgue (théorie de la mesure, etc...)\\ Elabore une théorie de l'intégration révolutionnaire en 1902. \subsection{Leibniz Gottfried Wihelm (1646-1716)} Philosophe, historien, mathématicien, astronome, physicien. Naissance du calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral). \subsection{Neper John} Jean Néper (ou Napier, baron de Merchiston) 1550-1617 : mathématicien écossais, découvre les logarithmes. Publie ses travaux sur les log en 1614 : \textit{Mirifici logarithmorum canonis descriptio} \subsection{Newton Isaac (1642-1727)} Naissance du calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral)\\ -méthode de Newton \subsection{Pascal Blaise (1623-1662)} Pascal occupe dans l'histoire de la science la place d'un grand physicien et d'un grand mathématicien. Il est l'un des créateurs de l'analyse mathématiques, de la géométrie projective, du calcul mécanique et de l'hydrostatique. On lui doit également la naissance de la théorie des probabilités. C'est aussi l'un des plus grands écrivain de la langue française.\\ Il a beaucoup influencé les écrivains Russes (Tolstoï, Dostoïeski). Il est aussi l'inventeur de "l'oeuf de Colomb" (globe terrestre), de la brouette, de l'ancètre de la machine à calculer (la Pascaline), de l'omnibus (premier transport en commun).\\ A 12 ans, il redémontre la 32-ième proposition du premier livre d'Euclide (théorème sur la somme des angles d'un triangle). A 13 ans, il fait partie du groupe de Mersenne, regroupant les plus grands mathématiciens français (dont Etienne Pascal, son père).\\ A 17 ans, il rédige son "Essai sur les coniques" (qui contient le "théorème de Pascal"); Lorsque son étude exhaustive est terminée, elle contient près de 400 corollaires(ex : un conique est déterminé par 5 de ses points). En 1640 (17 ans), il imagine une machine arithmétique visant à alléger le travail de son père (Etienne) : 5 ans de travail acharné seront nécessaire pour mettre au point la Pascaline; une production s'organise, mais on ne sait combien furent construites (on en a retrouvé seulement 8). \subsection{Poincaré Henri Jules (1854-1912)} Considéré comme l'un des plus grand mathématicien français. L'un des pères (avec Einstein) de la relativité. \subsection{Pythagore de Samos (569-500 avant J.-C. environ)} -théorème de pythagore (connu depuis les babyloniens), on ne sait pas si pythagore en donne une démonstration)\\ -triplet pythagoricien\\ -secte pythagoricienne\\ Seuls quelques auditeurs sont acceptés parmi le groupe des pythagoricien (la secte pythagoricienne); ils mènent une vie sobre et discipliné. Les pythagoricien échangent entre eux leurs découvertes, mais prêtent serment de ne pas divulguer ces connaissances à l'extérieur. Il épouse Théano (femme parmi ses auditeurs), malgré la différence d'âge. Il meurt assassiné avec de nombreux disciples. \subsection{Ramanujan Srinivasa (1887-1920)} Ses formules ont permis de calculer plusieurs milions de décimales de $\pi$ . \subsection{Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826-1866)} mathématicien allemand, élève de Gauss : intégrale de Riemann, surface de Riemann, conjecture de Riemann (problème historique) \subsection{Rolle Michel (1652-1719)} Mathématicien français; travaux d'algèbre et d'analyse. S'oppose vigoureusement à l'introduction du calcul infinitésimal (avant de se laisser convaincre).\\ Il énonce le théorème dit "de Rolle", en 1691, sans le démontrer. \subsection{Shwartz Hermann} \subsection{Simpson} -interpolation (méthode de Simpson) \subsection{Simson} -Droite de Simson \subsection{Stirling James} Formule de Stirling : $n!\backsim\sqrt{2\pi.n}(\dfrac{n}{e})^{n}$ (lorsque $n\to+\infty$) \subsection{Viète François (1540-1603)} -Loi des tangentes -Révolutionne l'algèbre en introduisant l'usage des lettres pour représenter des chiffres. \subsection{Tartaglia, le bègue (1500-1557)} Tartaglia (c'est son surnom en fait, signifie ''le bègue'', car machoire fendue)\\ Pense qu'il faut incliner un canon à $45^{o}$ pour qu'il tire le plus loin possible (ce qui est vrai)\\ Pour une joute organisée, il apprend que Fiore a une méthode secrète pour les éq. de $3^{eme}$ degrés, et après moults efforts, il trouve le 12 février 1535 la méthode pour résoudre (1), le 13 février il résoud (2). \begin{enumerate} \item $x^{3}+ax=b$ \item $x^{3}=ax+b$ \end{enumerate} Tartaglia dévoile (sous forme de poème en latin) sa méthode à Jérôme Cardan, sous réserve que celui-ci garde le secret. Ce qu'il obtient est juste une ''recette'' (sans aucune démonstration) pour résoudre (a). Cardan travaille pendant des années, pour résoudre (a), (b) et $ (c) : x^{3}+b=ax$. Il surpasse sans doute Tartaglia de beaucoup par son travail.\\ En 1545, Cardan fait publier son Ars Magna (1545), où il résoud les équations de $3^{eme}$ (''formule de Cardan'') et $4^{eme}$ degrés (par Ferrari, élève de Cardan). Tartaglia réagit vivement, et la lutte se fera principalement par l'intermédiaire de Ferrari. \subsection{Weierstrass Karl Théodor Wilhelm (1815-1897)} Le père des limites (définition rigoureuse de limite d'une fonction) : \begin{center} $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=l$ sisi $\forall \varepsilon>0$,$\exists \eta>0$, $\forall x$, $\vert x-a \vert<\eta$ $\Rightarrow $ $\vert f(x)-l \vert <\varepsilon$ \end{center} \end{document} \documentclass[twocolumn]{article} % Ici se trouve l'entête (préambule) \usepackage[francais]{babel} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage{graphicx} \usepackage[latin1]{inputenc} %\usepackage{isolatin1} \usepackage{amsmath} \usepackage{amscd} \usepackage{amstext} \usepackage{amsbsy} \usepackage{amsopn} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsxtra} \usepackage{upref} \usepackage{euscript} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{vmargin} \usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees % \def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}} \def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}} \def\ssi{\ifmmode \Leftrightarrow \else si et seulement si \fi} % \parindent=0pt \setmarginsrb{2,5cm}{0cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt} %\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} % {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.% % \newenvironment{pluslong}[2][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{moyen}[1][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1\\} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{court}% {\begin{flushleft} \textup}% {\end{flushleft} } % \begin{document} \begin{Large} Programmes TI-Voyage 200\footnotemark[1] \end{Large} \footnotetext[1]{Réalisé par Gwendal Haudebourg avec \LaTeX. Mise à jour le 31/07/2006.} \textsc{Résolution d'une équation de second degré} % passage très moche \begin{tabular}{cc} & \\ \end{tabular} \\ % fin passage très moche second2()\\ Prgm\\ ClrIO\\ Local delta,a,b,c,x1,x2,x,y,z\\ Lbl Label\\ Dialog\\ Title "Equation second degré"\\ Text "$ax^{2}+bx+c=0$"\\ Request "valeur de a, a $>$ 0",x\\ Request "valeur de b",y\\ Request "valeur de c",z\\ EndDlog\\ expr(x) $\rightarrow$ a\\ expr(y) $\rightarrow$ b\\ expr(z) $\rightarrow$ c\\ If ok=0 : stop\\ If a $\leq$ 0 Then\\ Goto label\\ b*b-4*a*c $\rightarrow$ delta\\ If delta $>0$ Then\\ (-b-$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x1\\ (-b+$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x2\\ Disp "solution réelle x1:",x1\\ Disp "solution réelle x2:",x2\\ EndIf\\ If delta=0 Then\\ -b/(2*a)$\rightarrow$ x1\\ Disp "solution double x1:",x1\\ EndIf\\ If delta $<0$ Then\\ (-b-i*$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x1\\ (-b+i*$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x2\\ Disp "solution imaginaire x1:",x1\\ Disp "solution imaginaire x2:",x2\\ EndIf\\ Pause : Disphome\\ EndPrgm \vspace{12cm} % passage très moche, mais j'ai rien trouvé d'autres pour faire l'espace voulu \begin{tabular}{cc} & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ \end{tabular} \\ % fin passage très moche \textsc{Résolution d'une équation de second degré (plus simple)}\\ second2()\\ Prgm\\ ClrIO\\ Local delta,a,b,c,x1,x2\\ Disp "$ax^{2}+bx+c=0$"\\ Input "a=?",a\\ Input "b=?",b\\ Input "c=?",b\\ b*b-4*a*c $\rightarrow$ delta\\ If delta $>0$ Then\\ (-b-$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x1\\ (-b+$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x2\\ Disp "solution réelle x1:",x1\\ Disp "solution réelle x2:",x2\\ EndIf\\ If delta=0 Then\\ -b/(2*a)$\rightarrow$ x1\\ Disp "solution double x1:",x1\\ EndIf\\ If delta $<0$ Then\\ (-b-i*$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x1\\ (-b+i*$\sqrt{delta}$)/(2*a)$\rightarrow$ x2\\ Disp "solution imaginaire x1:",x1\\ Disp "solution imaginaire x2:",x2\\ EndIf\\ Pause : Disphome\\ EndPrgm \twocolumn \textsc{Le nombre} n \textsc{est-il premier ?}\\ \\ prem()\\ Prgm\\ Local p,n,d\\ ClrIO\\ 1 $\rightarrow$ p\\ 2 $\rightarrow$ d\\ Lbl demande\\ Input "Rentrez un nombre entier $>1$ ",n\\ If n $\leq$ 1 Then\\ Goto demande\\ EndIf\\ While d*d $\leq$ n \\ If mod(n,d)=0 Then\\ 0 $\rightarrow$ p\\ EndIf\\ d+1 $\rightarrow$ 1\\ EndWhile\\ If p=1 Then\\ Disp "Le nombre est premier"\\ Else\\ Disp "Le nombre n'est pas premier"\\ EndIf\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm\\ \\ \textbf{remarque} : on peut modifier la boucle par : While d*d $\leq$ n and p $\neq 0$, cela va beaucoup plus vite \vspace{14cm} \textsc{Afficher} n \textsc{nombres premiers}\\ \\ premn()\\ Func\\ Local d,p,k,L1\\ $\left\lbrace 2\right\rbrace$ $\rightarrow$ L1\\ 3 $\rightarrow$ k\\ While k $\leq$ n\\ 1 $\rightarrow$ p\\ 2 $\rightarrow$ d\\ While d*d $\leq$ k \\ If mod(k,d)=0 Then\\ 0 $\rightarrow$ p\\ EndIf\\ d+1 $\rightarrow$ d\\ EndWhile\\ If p=1 Then\\ augment($\left\lbrace k\right\rbrace$,L1) $\rightarrow$ L1\\ EndIf\\ k+1 $\rightarrow$ k\\ EndWhile\\ Return L1\\ EndFun \newpage \twocolumn \textsc{Bezout : nu+pv=1}\\ \\ Bezout()\\ Prgm\\ Local q,r,a,b,u,v,t\\ ClrI0\\ Input ``n=?",n\\ Input ``p=?",p\\ If n$>$p Then\\ n$\rightarrow$ a : p$\rightarrow$ b\\ Else \\ n$\rightarrow$ b : p$\rightarrow$ a\\ EndIf\\ 1 $\rightarrow$ r\\ While r $\\neq$ 0\\ mod(a,b) $\rightarrow$ r\\ b $\rightarrow$ a : r $\rightarrow$ b\\ EndWhile\\ Disp ``PGCD=",a\\ 0 $\rightarrow$ i\\ If a=1 Then\\ Prompt t\\ For u,-t-t\\ For v,-t-t\\ If n*u+p*v=1 Then\\ i+1 $\rightarrow$ i\\ u $\rightarrow$ list1[i]\\ v $\rightarrow$ list2[i]\\ EndIf\\ EndFor\\ EndFor\\ EndIf\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm\\ \\ Pour afficher les solutions : liste1 (puis entrée) et liste2(puis entrée). Cet algorithme permet de trouver des couples (u,v) solutions de nu+pv=1, lorsque pgcd(n,p)=1. Il est extrêmement lent. La variable t représente l'intervalle de solutions de u et v.\\ Exemple : Bezout() pour n=8,p=11 puis t=7 : \\ list1 renvoie $\lbrace-4,7\rbrace$, list2 renvoie $\lbrace3,-5\rbrace$, donc les couples (-4,3) et (7,-5) sont solutions. \newpage \textsc{PGCD de deux nombres}\\ \\ pgcd()\\ Prgm\\ Local q,r,a,b\\ ClrI0\\ Input ``n=?",n\\ Input ``p=?",p\\ If n$>$p Then\\ n$\rightarrow$ a : p$\rightarrow$ b\\ Else \\ n$\rightarrow$ b : p$\rightarrow$ a\\ EndIf\\ 1 $\rightarrow$ r\\ While r $\neq$ 0\\ mod(a,b) $\rightarrow$ r\\ b $\rightarrow$ a : r $\rightarrow$ b\\ EndWhile\\ Disp "PGCD=",a\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm\\ \newpage \textsc{Méthode d'Euler 1}\\ Programme pour la TI en langue anglaise : résolution graphique d'une équation différentielle par la méthode d'Euler (pris dans Initiation Voyage 200, P.7). Les "@\textbf{...}" sont des commentaires. Pour le mode français : remplacer Newlist par NouvList, et Zoomdata par ZoomDonn. Le programme qui suit est la méthode d'euler explicite, pour la fonction $f(x)=x+1$, c'est à dire pour l'équation différentielle $y'=y+1$, avec un pas de $0.1$, et pour 40 points. \begin{moyen} euler()\\ Prgm\\ Local f,x0,y0,p,n,lx,ly,i\\ "x+1"$\rightarrow$ f:"0"$\rightarrow$ x0:"0"$\rightarrow$ y0:"0.1"$\rightarrow$ p\\ "40"$\rightarrow$ n\\ @ \textbf{la ligne précédente sert à mettre des valeurs par défaut pour le programme}\\ Dialog\\ Title "Entrée des données"\\ Request "f(x)",f\\ Request "x0 ",x0\\ Request "y0 ",y0\\ Request "Pas ",p\\ Request "Pts ",n\\ Endlog\\ expr(f)$\rightarrow$ f: expr(x0)$\rightarrow$ x0 : expr(y0)$\rightarrow$ y0\\ expr(p)$\rightarrow$ p: expr(n)$\rightarrow$ n\\ Newlist(n)$\rightarrow$ lx: Newlist(n)$\rightarrow$ ly\\ For i,1,n\\ x0 $\rightarrow$ lx[i]:y0 $\rightarrow$ ly[i]\\ y0+p*(f$\vert$ x=x0)$\rightarrow$ y0:x0+p$\rightarrow$ x0\\ EndFor\\ lx $\rightarrow$ liste1:ly $\rightarrow$ liste2\\ Newplot 1,2,liste1,liste2,,,,3\\ Zoomdata @ \textbf{pour zoomer sur les données. Pas nécessaire, et même parfois troublant}\\ EndPrgm \end{moyen} On trouve dans les manuels de TI une comparaison entre Euler et Runge-Kutta : P.11-19 pour le manuel de la TI 89, p.686 pour le manuel TI 89-Voyage 200. \newpage \textsc{Méthode d'Euler 2}\\ L'exemple qui suit est la méthode d'euler explicite, pour la fonction $f(t)=a(t)y+b(t)$. On peut tester par exemple $a(t)=-t$ et $b(t)=1$, ie équation différentielle $y'=-y+1$, avec un pas de $0.1$, et pour 40 points. \begin{moyen} euler2()\\ Prgm\\ Local a,b,x0,y0,p,n,lx,ly,i\\ Dialog\\ Title "Entrée des données"\\ Request "a(x)",a\\ Request "b(x)",b\\ Request "x0 ",x0\\ Request "y0 ",y0\\ Request "Pas ",p\\ Request "Pts ",n\\ EndDlog\\ expr(a)$\rightarrow$ a: expr(b)$\rightarrow$ b : expr(x0)$\rightarrow$ x0 : expr(y0)$\rightarrow$ y0\\ expr(p)$\rightarrow$ p: expr(n)$\rightarrow$ n\\ Newlist(n)$\rightarrow$ lx: Newlist(n)$\rightarrow$ ly\\ For i,1,n\\ x0 $\rightarrow$ lx[i]:y0 $\rightarrow$ ly[i]\\ (y0+p*(b$\vert$ x=x0))/(1-p*(a$\vert$x=x0)$\rightarrow$ y0 x0+p$\rightarrow$ x0\\ EndFor\\ lx $\rightarrow$ liste3:ly $\rightarrow$ liste4\\ Newplot 2,2,liste3,liste4,,,,3\\ @ \textbf{qques petits chgts pour ne pas écraser le travail réalisé avec Euler 1}\\ Zoomdata\\ EndPrgm \end{moyen} \begin{tabular}{cc} & \\ & \\ \end{tabular} \newpage \textsc{Méthode de la Dichotomie}\\ dicho()\\ Prgm\\ ClrIO\\ Local a,b,n,m,p,i\\ Input "borne inferieure de [a,b]",a\\ Input "borne superieure de [a,b]",b\\ Input "precision voulue",p\\ a $\rightarrow$ m\\ b $\rightarrow$ n\\ o $\rightarrow$ i\\ While abs(m-n)$>$p\\ If y1(m)$<$0 Then\\ If y1((m+n)/2)$>$0 Then\\ (m+n)/2 $\rightarrow$ n\\ Else\\ (m+n)/2 $\rightarrow$ m\\ EndIf\\ Else If y1((m+n)/2)$<$0 Then\\ (m+n)/2 $\rightarrow$ n\\ Else\\ (m+n)/2 $\rightarrow$ m\\ EndIf\\ EndIf\\ i+1 $\rightarrow$ i\\ EndWhile\\ Disp "la solution est dans l'intervalle", [[round(m),round(n)]]\\ Disp "nombre iterations :",i\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm \newpage \textsc{Méthode de Lagrange}\\ lagrange()\\ Prgm\\ Local a,b,n,u,e,t,d\\ ClrIO\\ Input "borne inferieure de [a,b]",a\\ Input "borne superieure de [a,b]",b\\ Input "erreur",e\\ 0 $\rightarrow$ n\\ a $\rightarrow$ u\\ y1(u-e)*y1(u+e) $\rightarrow$ t\\ (b*y1(u)-u*y1(u))/(y1(b)-y1(u)) $\rightarrow$ d\\ While t$>$0\\ While abs(d) $\geqslant$ e\\ (b*y1(u)-u*y1(u))/(y1(b)-y1(u)) $\rightarrow$ d\\ u-d $\rightarrow$ u\\ n+1 $\rightarrow$ n\\ EndWhile\\ y1(u-e)*y1(u+e) $\rightarrow$ t\\ EndWhile\\ Disp "valeur approchee :",round(u)\\ Disp "nombre iterations :",n\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm \vspace{2cm}\textsc{Méthode de Newton}\\ newton()\\ Prgm\\ Local x0,n,u,e,t,d\\ ClrIO\\ Input "x0 dans [a,b]:",x0\\ Input "erreur",e\\ 0 $\rightarrow$ n\\ x0 $\rightarrow$ u\\ y1(u-e)*y1(u+e) $\rightarrow$ t\\ Define h(x)=\textit{d}(y1(x),x)\\ y1(u)/(h(u)) $\rightarrow$ d\\ While t$>$0\\ While abs(d) $\geqslant$ e\\ y1(u)/(h-u)) $\rightarrow$ d\\ u-d $\rightarrow$ u\\ n+1 $\rightarrow$ n\\ EndWhile\\ y1(u-e)*y1(u+e) $\rightarrow$ t\\ EndWhile\\ Disp "valeur approchee :",round(u)\\ Disp "nombre iterations :",n\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm \newpage \textsc{Méthode des rectangles gauches}\\ rectangl()\\ Prgm\\ Local a,b,n,c,h,i\\ Prompt a,b,n\\ (b-a)/n $\rightarrow$ h\\ a $\rightarrow$ c\\ 0 $\rightarrow$ i\\ While c$<$b\\ i+f(c) $\rightarrow$ i\\ c+h $\rightarrow$ c\\ EndWhile\\ i*h $\rightarrow$ i\\ Disp "Integrale approchee:", approx(i)\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm\\ % methode des tangentes=rectangles avec points médians \textsc{Méthode des milieux=tangentes}\\ milieux()\\ Prgm\\ Local a,b,n,c,h,i\\ Prompt a,b,n\\ (b-a)/n $\rightarrow$ h\\ a+h/2 $\rightarrow$ c\\ 0 $\rightarrow$ i\\ While c$<$b\\ i+f(c) $\rightarrow$ i\\ c+h $\rightarrow$ c\\ EndWhile\\ i*h $\rightarrow$ i\\ Disp "Integrale approchee:", approx(i)\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm\\ \textsc{Méthode des trapèzes}\\ trapeze()\\ Prgm\\ Local a,b,n,c,h,i\\ Prompt a,b,n\\ (b-a)/n $\rightarrow$ h\\ a+h $\rightarrow$ c\\ (f(a)+f(b))/2 $\rightarrow$ i\\ While c$<$b\\ i+f(c) $\rightarrow$ i\\ c+h $\rightarrow$ c\\ EndWhile\\ i*h $\rightarrow$ i\\ Disp "Integrale approchee:", approx(i)\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm \newpage \textsc{Méthode de Simpson}\\ simpson()\\ Prgm\\ Local a,b,n,c,h,s\\ Prompt a,b,n\\ (b-a)/n $\rightarrow$ h\\ a+h/2 $\rightarrow$ c\\ 0 $\rightarrow$ s\\ While c$<$b\\ s+f(a)+f(a+h)+4*f(a+h/2) $\rightarrow$ s\\ a+h $\rightarrow$ a\\ c+h $\rightarrow$ c\\ EndWhile\\ (h/6)*s $\rightarrow$ i\\ Disp "Integrale approchee:", approx(i)\\ Pause : DispHome\\ EndPrgm\\ \textbf{Remarques} : (i) pour ces programmes, il faut définir la fonction auparavant. \\Exemple : (4/(1+($x^{2}$)) $\rightarrow$ f(x) pour approcher $\pi$ (en intégrant de 0 à 1).\\ (ii) pour manipuler les résultats, on peut faire des fonctions (et pas des programmes)\\ \end{document} \documentclass[twocolumn]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage{graphicx} \usepackage[latin1]{inputenc} %\usepackage{isolatin1} \usepackage{amsmath} \usepackage{amscd} \usepackage{amstext} \usepackage{amsbsy} \usepackage{amsopn} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsxtra} \usepackage{upref} \usepackage{euscript} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} %\usepackage{ulsy} \usepackage[all]{xy} \usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees \usepackage{vmargin} \usepackage{txfonts} \usepackage{textcomp} \usepackage{fontenc} %\usepackage{marvosym} % Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si \def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}} \def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}} \def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}} \def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}} %% \parindent=0pt \setmarginsrb{1,5cm}{1,5cm}{1,5cm}{1,5cm}{16pt}{20pt}{16pt}{45pt} %\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} % {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {6} fixe la hauteur de l'entête, {5} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page. % % \title{Anneaux et corps} \author{Gwendal} %pour la date en français \def\today{\ifnum\day=1\relax 1\raisebox{.6ex}{\small er} \else \number\day\fi \space\ifcase\month\or janvier\or février\or mars\or avril\or mai\or juin\or juillet\or août\or septembre\or octobre\or novembre\or décembre\fi\space\number\year} % guillemets ouvrant \og fermant \fg % \newenvironment{pluslong}[2][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}% {\end{flushleft} } % % \newenvironment{pluslong2}[2][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{moyen}[1][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1\\} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{moyen2}[1][]% {\begin{flushleft}\textbf{#1} \textup}% {\end{flushleft} } % \newenvironment{court}% {\begin{flushleft} \textup}% {\end{flushleft} } % % \newenvironment{preuve}[1][]% {\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}% {\qed\end{flushleft}} % \begin{document} %\maketitle %\tableofcontents % (table des matières) %\newpage % \begin{center} \huge{Anneaux et corps} \end{center} \section{Anneaux} \begin{pluslong}[Définition :]{(Anneaux)} Soit A \footnotemark[1] un ensemble muni de deux lois de compositions internes notées ``+" et $ ``\cdot"$ . On dit que (A,$+, \cdot )$ est un anneau si :\\ \footnotetext[1]{sources : Gourdon, Waggemann, Pajitnov, Danny-Jack Mercier, Dixmier. Tapé par Gwendal Haudebourg. Mis à jour le 31/07/2007} (i) (A,+) est un groupe \textbf{abélien}\\ (ii) La loi $``\cdot"$ est associative\\ (iii) La loi $``\cdot"$ est distributive par rapport à la loi +\\ On peut résumer (iii) par : $\forall x,y,z \in$ A, on a : \\ \begin{description} \item $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ \item $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ \end{description} Si la loi $``\cdot"$ admet un élément neutre, on dit que (A,+, $ \cdot $ ) est un anneau unitaire\footnotemark[2].\\ Si la loi $``\cdot"$ est commutative, on dit que (A,+, $ \cdot $ ) est un anneau commutatif.\\ Un élément de A est dit inversible s'il l'est pour la loi $``\cdot"$ \end{pluslong} Exemples : $(\ZZ,+,\cdot)$,$(\QQ,+,\cdot)$,$(\RR,+,\cdot)$,$(\CC,+,\cdot)$\\ $(\ZZ/n\ZZ,+,\cdot)$,$(\mathcal{M}_{n}(\RR)$,+,$\cdot)$\\ \textbf{Remarques :} \begin{enumerate} \item L'élément neutre de la loi $``+"$ sera souvent noté 0, celui de la loi $``\cdot"$ sera souvent noté 1 ou $e$ (et appelé élément unité ou unité). \item Un élément de A est bien sûr toujours inversible pour la loi $``+"$ car (A,+) est un groupe. \item En général, on impose à (A,+,$ \cdot $) d'être unitaire. \item On utilisera un abus de notation bien répandu : on notera l'anneau (A,+,$ \cdot $) par : A.\ \item Si 1=0 (ie si l'élément neutre de la loi $``+"$ est le même que celui de la loi $``\cdot"$ , alors A={0} (anneau trivial). Les deux anneaux dits "anneau trivial" sont : {0} et A. Dans certains livres, {0} n'est pas considéré comme un anneau\footnotemark[3]. \item Lorsqu'un élément $x \in$ A est inversible (pour la loi $``\cdot"$ bien sûr), son inverse est unique. \item Les éléments neutres 0 (pour la loi ``+") et 1 (pour la loi $``\cdot"$ ) sont uniques. \end{enumerate} \footnotetext[2]{Pajitnov considère que tous les anneaux sont unitaires} \footnotetext[3]{Nous supposerons que {0} est un anneau dans ce cours (en suivant le cours de M.Pajitnov)} % \begin{pluslong}[Définition :]{(corps)} On appelle corps\footnotemark[4] un anneau unitaire dans lequel tout élément non nul est inversible\\ \footnotetext[4]{Il existe une définition équivalente de corps :\\ Soit K un ensemble muni de deux lois de compositions internes ``+" et $``\cdot"$.(K,+,$\cdot$) est un corps si :\\ (i) (K,+) est un groupe abélien\\ (ii) (K\textsuperscript{*},$``\cdot"$) est un groupe \\ (iii) La loi $\cdot$ est distributive par rapport à la loi ``+" Si la loi $``\cdot"$ est commutative, on parle de corps commutatifs.} \end{pluslong} \textbf{Exemples} : ($ \RR$,+,$\cdot$), ($ \QQ$,+,$\cdot$), ($\CC$,+,$\cdot$) ($\ZZ /p\ZZ$,+,$ \cdot $) [où $p$ premier] sont des corps. ($\ZZ$,+,$ \cdot $) n'est pas un corps car seuls 1 et -1 sont inversibles (par la loi $ \cdot $)/ $(\mathcal{M}_{n}(\RR),+,\cdot)$ n'est pas un corps car il existe des matrices non inversibles.\\ \begin{pluslong}[Définition :]{(diviseur de zéro)} Un élément $a$ de A est dit diviseur de zéro à droite (respectivement à gauche) si $a\not=0$ et s'il existe $b\not=0$ tel que $a\cdot b=0$ (resp $b\cdot a=0$) \end{pluslong} \begin{pluslong}[Définition :]{(anneau intègre)} Un anneau A est dit intègre\footnotemark[5] s'il est sans diviseur de zéro, autrement dit : \begin{center} $a\cdot b=0 \Rightarrow a=0$ ou $b=0$ \end{center} \footnotetext[5]{On excluera l'anneau {0}, en le considérant comme non-intègre. Une définition pour éviter ce cas est donné ds le cours de Pajitnov : Un anneau A est dit intègre si $ 1\not=0 $ et s'il est sans diviseur de zéro.} \end{pluslong} \begin{moyen}[Remarques : ] 1) $\ZZ$, $\QQ$, $\RR$ et $\CC$ intègres\\ 2) $ \mathbb{\ZZ} $/6$\mathbb{\ZZ}$ n'est pas intègre car 2 et 3 sont des diviseurs de zéro : 2$ \cdot $3=0 et 3$ \cdot $2=0 dans $ \mathbb{\ZZ} $/6$\mathbb{\ZZ}$\\ 3) Si $p$ est premier, alors $ \mathbb{\ZZ}$/$p\mathbb{\ZZ}$ est intègre (mettre la preuve)\\ 4) $M_{n}(\RR)$ est un anneau unitaire non intègre. \end{moyen} \textbf{Proposition} : $A$ corps $\Rightarrow$ $A$ anneau intègre \begin{pluslong}[Définition :]{(élément nilpotent)} Un élément $ a\in$ A est dit nilpotent s'il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $a^{n}=0$. L'indice de nilpotence de $a$ (ou l'ordre\footnotemark[6] de $a$) est le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $a^{n}=0$. \footnotetext[6]{On privilégera cette terminaison} \end{pluslong} \begin{pluslong}[Définition :]{(Sous-anneaux)} Un sous-ensemble B de A est dit un sous anneau si (B,+,$ \cdot $) est un anneau. \end{pluslong} \begin{moyen}[Remarques :] -La définition de sous-anneau est beaucoup moins utilisé que la notion de sous-groupe.\\ -On peut aussi définir un sous-anneau par : \end{moyen} \begin{moyen}[Définition équivalente :] Un sous-ensemble B de A est appelé sous anneau de A si :\\ (i)(B,+) est un sous-groupe de (A,+)\\ (ii)Pour tout $x,y\in$ B, on a $x\cdot y \in$ B \end{moyen} \textbf{remarque} : si $n\neq\pm 1$, alors $n\ZZ$ n'est pas un sous-anneau de $\ZZ$ (car ne contient pas $e$). \section{Idéaux} \begin{pluslong}[Définition :]{(Idéal)} Soit I C A. On dit que I est un idéal à gauche (respectivement idéal à droite) de l'anneau (A, +,$ \cdot $) si (i) (I,+) est un sous-groupe de (A,+)\\ (ii) $x \in$ I,$y \in$ A $\Rightarrow$ $xy \in$ I\\ (ie $\forall(x,y)\in$ I$\times$ A, $x.y \in$ I \end{pluslong} Un anneau bilatère (ou tout simplement un idéal\footnotemark[7]) de A est un idéal à gauche et à droite de A, ie :\\ \begin{center} $\forall (x,a)\in$ I$\times$ A, $xa \in$ I et $ax \in$ I \end{center} \footnotetext[7]{on privilégera cette terminaison} \begin{moyen}[Remarques :] -Un idéal est un sous-anneau de A\\ -La notion d'idéal est en quelque sorte l'analogue pour les anneaux de la notion de sous-groupe distingué.\\ -Si A est commutatif, alors pour tout $x\in$ A, l'ensemble $x$A:=\{$xa$, $a \in$ A\} (que l'on note aussi $(x)$ ) est un idéal de A.\\ -Si A est unitaire et si $ 1\in$ I où I est un idéal de A, la propriété (ii) entraîne que I=A (car, pour tout $ a \in$ A, $x.1=x\in$ I)\\ -Si un idéal I de A possède un élément inversible $x$ de A, alors I=A :\\ -{0} et A sont des idéaux de A \end{moyen} \begin{moyen}[Proposition :] Une intersection d'idéaux de A est un idéal de A. Une somme finie d'idéaux de A est un idéal de A. \end{moyen} \begin{pluslong}[Définition]{(Anneau principal)} Soit (A,+,$``\cdot"$) un anneau. Un idéal I de A est dit principal s'il existe $ x \in$ A tel que I=$(x)$. On note alors I=$(x)$.\\ L'anneau A est dit principal s'il est commutatif, unitaire, intègre, et si tous les idéaux de A sont principaux. \end{pluslong} \textbf{Remarque} : Il suffit de l'existence d'un $x \in$ A tel que I=$x$A (ie un $x$ tel que I=($x$) ) pour que I soit principal.\\ \\ \textbf{Proposition} : Les anneaux $\ZZ$ et $\RR\left[ x \right]$ sont principaux. \begin{pluslong}[Définition :]{(Idéal engendré)} Soient $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ n éléments de A. Le plus petit idéal contenant les éléments $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ est appelé idéal engendré par ($x_{1},x_{2},...,x_{n}$), et noté : ($x_{1},x_{2},...,x_{n}$) On a : ($x_{1},x_{2},...,x_{n}$):=$\{x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+...+x_{n}\cdot y_{n}$) , $y_{i} \in A ,\forall i=1...n\}$ \end{pluslong} \textbf{Proposition} : A est un corps si et seulement si tous les idéaux de A sont triviaux. \section{Anneaux quotients} Comme pour les groupes, on peut définir la notion de quotient sur les anneaux. Etant donné une relation d'équivalence R sur A, on cherche à faire de A/R un anneau en le munissant des loi :\\ (i)$\overline{x+y}$=$\overline{x}+\overline{y}$\\ (ii)$\overline{x\cdot y}$=$\overline{x}\cdot \overline{y}$\\ Si ces lois sont bien définies (c'est à dire que ne dépendent pas des représentants choisis de $\overline{x}$ et $\overline{y}$, on dit que R est compatible avec la structure d'anneau. On montre que les relations d'équivalences compatibles avec la structure d'anneau sont de la forme $x\mathcal{R}y \Leftrightarrow x-y \in$ I, où I est un idéal de A. Si tel est le cas, A/$\mathcal{R}$ est un anneau (muni des loi définies plus haut) appelé anneau quotient et noté A/I. \section{Morphismes d'anneaux} \begin{pluslong}[Définition :]{(Morphisme d'anneaux)} Soient A et B deux anneaux. On appelle morphisme d'anneau (ou homomorphisme d'anneaux) de A dans B toute application\\ $f$ : A$\rightarrow$ B tq : \\ (i) $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $\forall x,y \in$ A \\ (ii)\footnotemark[8] $f(x \cdot y)=f(x)$ $\cdot f(y)$, $\forall x,y \in$ A \end{pluslong} \footnotetext[8]{Et pas : f hom. de groupe pour la loi . car (A, . ) pas forcément un groupe ! De plus, faire attention à la loi . employée : pas forcément la même dans A et dans B.} \begin{pluslong}[Définitions :]{(isomorphisme)} Un morphisme d'anneau $f$ est dit monomorphisme si $f$ est injectif\\ Un morphisme d'anneau $f$ est dit épimorphisme si $f$ est surjectif\\ Un morphisme d'anneau $f$ est dit isomorphisme si $f$ est bijectif\\ Deux anneaux (A, +,$``\cdot"$) et (B,+,$``\cdot"$) sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme $f$ : A$\rightarrow$ B\\ Soit $f$ un morphisme d'anneaux. Alors $Ker f$ est appelé noyau de $f$, $Im f$ est appelé image de $f$, où :\\ $Ker f$=\{$ x \in$ A, $f(x)=0\}$=$f^{-1}(\{0\})$\\ $Im f$=\{$ y \in$ B, $\exists x \in$ A tq $f(x)=y$\}=\{$f(x)$, $x \in$ A\} \end{pluslong} \begin{moyen}[remarques :] Soit $f$ : A$\rightarrow$ B un morphisme d'anneaux. Alors $Im f$ est un sous-anneau de B; $Ker f$ \underline{est un idéal de A}, donc un sous-anneau de A \end{moyen} \begin{moyen}[exemple :] P : $ \ZZ\rightarrow \ZZ/n\ZZ $\\ $ x \rightarrow[x] $ est un morphisme d'anneaux, avec les lois définies plus haut \end{moyen} \begin{moyen}[Proposition :] Soient A et B deux anneaux, $f$ : A$\rightarrow$ B un morphisme d'anneau. Alors :\\ Si I est un idéal de A, et si $f$ est surjectif, alors $f$(A) est un idéal de A.\\ Si I' est un idéal de A', $f$\textsuperscript{-1}(I') est un idéal de A.\\ L'image (et l'image réciproque) par $f$ (respectivement par $f$\textsuperscript{-1}) d'un sous-anneau (donc d'un anneau) est un sous-anneau (donc un anneau).\\ \underline{$f$(A) est isomorphe à l'anneau quotient A/$Ker f$} \end{moyen} \textbf{Remarque} : La dernière assertion de la proposition est importante. C'est souvent le moyen le plus rapide pour montrer qu'un anneau est isomorphe à un anneau quotient. \begin{pluslong}[Proposition :]{(factorisation des morphismes d'anneaux)} Soit $f$ : A$\rightarrow$ B un morphisme d'anneaux, I $\subseteq$ A un idéal tel que I $\subseteq Ker f$. Alors, il existe un unique morphisme d'anneaux $g$ : A/I$\rightarrow$ B tel que le diagramme suivant soit commutatif : \end{pluslong} \begin{center} \includegraphics[width=3cm]{dixmier_2.eps} \end{center} De plus, si $f$ est surjectif, $g$ est un isomorphisme : \begin{center} \includegraphics[width=2.5cm]{dixmier_4.eps} \end{center} \begin{pluslong}[Définition :]{(Idéal premier-Idéal principal)} Soit I $\subsetneqq$ A un idéal. I est appelé premier si :\\ \begin{center} $ x.y \in$ I $\Rightarrow$ ($x\in$ I ou $ y\in$ I) \end{center} I est appelé maximal s'il n'existe pas d'idéal J de A tel que I $\subsetneqq$ J $\subsetneqq$ A \end{pluslong} \begin{moyen}[Propositions :] 1) Un idéal maximal est premier\\ 2) I est premier $\Longleftrightarrow$ A/I est intègre\\ 3) I est maximal $\Longleftrightarrow$ A/I est un corps \end{moyen} \textbf{Proposition} : $n\ZZ$ est un idéal premier $\Leftrightarrow$ $n\ZZ$ est un idéal maximal $\Leftrightarrow$ $n$ est premier\\ \textbf{Proposition} : Les idéaux de $\ZZ$ sont de la forme $n\ZZ$ (ie coincïdent avec les sous-groupes de $\ZZ$), et :\\ $\boxed{p \quad\textsc{premier} \Longleftrightarrow \ZZ / p\ZZ \quad\textsc{intègre} \Longleftrightarrow \ZZ / p\ZZ \quad\textsc{corps}}$ % \section{Eléments irréductibles} \begin{pluslong}[Définition :]{(Elément irréductible)} Un élément $x\neq 0$, $x\in A$ est appelé irréductible si $x$ n'est pas inversible et si ($x=a.b\Rightarrow a$ inversible ou $b$ inversible) \end{pluslong} \begin{moyen2}[Remarques] :\\ (1) les éléments irréductibles de $\ZZ$ sont les nombres premiers (rappel : les éléments sont dits inversibles, s'ils le sont pour la loi $``\cdot"$)\\ (2) soient $p_{1}$, $p_{2}$ irréductibles. Alors $pgcd(p_{1},p_{2})$ ou $p_{1}\sim p_{2}$ \end{moyen2} \begin{moyen2}[Proposition] : soit $x\neq 0$. Alors $x$ est irréductible $\Leftrightarrow$ ($x$) est un idéal premier $\Leftrightarrow$ $(x)$ est un idéal maximal \end{moyen2} \begin{moyen2}[Théorème]{(décomposition d'un élément)} : soit $x \neq 0$. Alors soit $x$ est inversible, soit il existe $(p_{1},...,p_{k}) \in A^{k}$ inversibles, $u \in A$ inversible, tels que $x=u.p_{1}...p_{k}$ (à permutation près) \end{moyen2} \section{Anneaux Euclidiens} \begin{moyen2}[Définition]{(Anneau euclidien)} : soit $A$ un anneau intègre. On dit que $A$ est euclidien s'il existe une fonction $N$ : $A-\lbrace 0 \rbrace \longrightarrow \NN$ telle que :\\ (1) $N(ab)\geqslant N(b)$, $\forall a,b \in A-\lbrace 0 \rbrace$\\ (2) $\forall a,b \in A$, $b \neq 0$, $\exists !(q,r)\in A$ tq. $a=bq+r$ \quad ($r=0$ ou $N(r)$c}\\ b+x & \textrm{sinon} \end{array} \right.$ \end{center} \begin{verbatim} y=\left\{ \begin{array}{ll} a & \textrm{si d>c}\\ b+x & \textrm{sinon} \end{array} \right. \end{verbatim} \subsection{Numérotation des équations} \begin{verbatim} \begin{equation}\label{eq} 2x+3 \end{equation} L'equation (\ref{eq}) implique que... \end{verbatim} \textbf{nous donne} : \\ \begin{equation}\label{eq} 2x+3=0 \end{equation} L'equation (\ref{eq}) implique que... \subsection{Somme, limite} Formule pas joli, mais pas de retour à la ligne (ex : $\sum_{n=0}^{+\infty} v_{n}$) \begin{verbatim} $\sum_{n=0}^{+\infty} v_(n)$ \end{verbatim} Belles formules, mais retour à la ligne : $$\lim_{x \to \infty}f(x)=3$$ \begin{verbatim} $$\lim_{x \to 0+}x^{x}$$ \end{verbatim} $$\sum_{\substack{ 0\leqslant i \leqslant m\\ 0