\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
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% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
\setmarginsrb{2,5cm}{0,5cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt}
%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
\date{}
%
\title{Exposé 80 : Caractérisation des fonctions exponentielles par l'équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x).f(y)$. Applications.}
%
\newenvironment{pluslong}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}%
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%
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\newenvironment{court}%
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%
\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Prérequis\footnotemark[1]} :& -$x\mapsto exp_{x}$, introduit comme bijection réciproque de $x\mapsto\ln$\\
 & -$exp_{a}x=a^{x}$\\
 & -$a^{x+y}=a^{x}a^{y}$\\
 & -continuité, dérivabilité, intégrale\\
 & -$\QQ$ dense dans $\RR$
\end{tabular} \\
%
\footnotetext[1]{Source : Sabine, Isabelle. Tapée par Gwendal, réalisé avec \LaTeX. Mise à jour le 08/06/2007. Plan pas encore au point.}
%

\underline{Motivation} : pour tout réel non nul $a$, l'application $\varphi$ : $n\in\ZZ\mapsto a^{n}$ (avec la convention $a^{0}=1$) satisfait à $\varphi_{a}(n+m)=\varphi_{a}(n).\varphi_{a}(m)$, pour tout entiers $n$ et $m$...\\

\underline{Cadre} : Soit $E$=$\lbrace$ $f$ : $\RR\rightarrow \RR$, $f(x+y)=f(x).f(y)$, $\forall x,y\in\RR^{2}$ $\rbrace$, $E^{*}$=$\lbrace$ $f\in E$, $f(x)\nequiv 0\rbrace $\\

\begin{tabular}{ll}
\textbf{remarques} :& -Les fonctions exponentielles sont (clairement) solutions de $E^{*}$\\
 & -A t-on toujours [$f\in E$ $\Rightarrow$ $f(x)=e^{\alpha x}$] ? Non, et c'est bien l'intérêt de l'exposé...
\end{tabular}
%
\section{Propriétés}

\begin{moyen2}[Propriétes] :\\
\begin{enumerate}
\item $E\neq \o{}$ et $E^{*}\neq \o{}$ 
\item Si $f \in E$ et si $f$ s'annule en un point $a$, alors $f\equiv 0$
\item Si $f\in  E^{*}$, alors $f>0$
\item Si $f\in  E^{*}$, alors $f(0)=1$
\end{enumerate}
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (1) la fonction nulle est trivialement dans $E$, de même la fonction $x\mapsto exp(x)$ est dans $E^{*}$\\
(2) $\forall x\in \RR$, $f(x)=f(x-a).f(a)$, donc si $f$ s'annule en $a$, $f(x)\equiv 0$\\
(3) $\forall x\in\RR$, $f(x)=f(\frac{x}{2})f(\frac{x}{2})=f(\frac{x}{2})^{2}\geqslant 0$, donc si $x\neq 0$, $f(x)>0$ (par 2)\\
(4) $f(0)=f(0+0)=f(0)^{2}$ donc $f(0).(1-f(0))=0$ donc $f(0)=0$ ou $f(0)=1$, or $f(0)=0\Rightarrow f\equiv 0$, donc $f(0)=1$
\end{preuve}

Conclusion : les éléments de $E^{*}$ sont des applications $f$ : $\RR\rightarrow \RR_{+}^{*}$

\begin{moyen2}[Propriété de continuité] : si $f\in E$ et $f$ continue en un point $x_{0}\in\RR$, alors $f$ continue sur $\RR$.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : soit $f\nequiv 0$ (trivial sinon), $(x,h)\in\RR^{2}$, $f(x+h)=f(x-x_{0}+x_{0}+h)$=$f(x-x_{0}).f(x_{0}+h)$, or $f$ continue en $x_{0}$, donc $\displaystyle\lim_{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})$, d'où $\displaystyle\lim_{h \to 0}f(x+h)$=$f(x-x_{0}).f(x_{0})$=$f(x-x_{0}+x_{0})$=$f(x)$.
Ainsi, $\forall (x,h) \in \RR^{2}$, $\displaystyle\lim_{h \to 0}f(x+h)$=$f(x)$, donc $f$ continue sur $\RR$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Propriété de dérivabilité] : si $f\in E$ et $f$ continue en un point $x_{0}$ (donc sur $\RR$ par ce qui précède), alors $f\in\mathcal{C}^{+\infty}(\RR)$, et $f'(x)=f'(0).f(x)$, $\forall x \in \RR$.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : soit $f\in E$, $f$ continue en $x_{0}\in\RR$ $\Rightarrow$ $f \mathcal{C}^{0}(\RR)$ par la proposition précédente. Soit $g(x)=\int_{0}^{1} f(x+y)dy$\\ ($g$ existe bien car $y\mapsto f(x+y)$ est continue). Donc $g(x)=\int_{0}^{1}f(x).f(y)dy$=$f(x)\int_{0}^{1}f(y)dy$ or $\int_{0}^{1}f(y)dy$ est une constante (car $f$ continue sur $[0,1]$, donc bornée, et $\int_{0}^{1}f(y)dy$=$F(0)-F(1)=cste$), donc :
\begin{center}
$g$ dérivable $\Leftrightarrow$ $f$ dérivable\end{center}
Or en posant $t=x+y$, on a $g(x)=\int_{0}^{1} f(x+y)dy$=$\int_{x}^{x+1}f(t)dt$=$F(x+1)-F(x)$  ($F$ existe bien car $f$ continue sur $[x;x+1]$ donc admet une primitive, et on a $F'=f$), donc $g$ est dérivable (car $F$ est dérivable, de dérivée $f$), et par suite $f$ est dérivable.\\
De plus $g'(x)=f'(x).\int_{0}^{1} f(y)dy$=$f'(x).K_{1}$=$f(x+1)-f(x)$=$f(x)[f(1)-1]$=$f(x=.K$ (où $K_{1}=\int_{0}^{1}f(y)dy$ et $K_{2}=f(1)-1$)\\
Donc $f'(x).K_{1}$=$f(x).K_{2}$, en particulier $f'(0).K_{1}=f(0).K_{2}=1.K_{2}=K_{2}$, donc $f'(0)=\dfrac{K_{1}}{K_{2}}=:K$, et $f'(x)=f'(0).f(x)$, $\forall x\in\RR$, et $f\in\mathcal{C}^{\infty}(\RR)$ par récurrence. 
\end{preuve}

\section{Recherche des solutions de $E^{*}$}

Nous allons rechercher les solutions ``suffisamment régulières".

\subsection{Recherche des solutions continues sur $\RR$}

On a vu que les fonctions exponentielles sont des solutions de $E^{*}$, et elles sont continues; montrons que ce sont les seules.

\begin{moyen2}[Proposition] : soit $f$ une fonction continue solution de l'équation fonctionnelle $E^{*}$. Alors :\begin{enumerate}
\item $\forall x \in\RR$, $\forall n\in\NN$, $f(nx)=[f(x)]^{n}$ 
\item $\forall x \in\RR$, $\forall n\in\ZZ$, $f(nx)=[f(x)]^{n}$
\item $\forall x \in\RR$, $\forall r\in\QQ$, $f(rx)=[f(x)]^{r}$
\item $\forall x \in\RR$, $f(x)=a^{x}$ (ie $f(x)=e^{x\ln a}$) où $a=f(1)$
\end{enumerate}
\end{moyen2}

Conclusion : \textbf{les fonctions continues sur $\RR$ solutions de $E^{*}$ sont les fonctions exponentielles} (une fonction continue en un point de $\RR$ et solution de $E^{*}$ est continue sur $\RR$, et donc est aussi une fonction exponentielle). 

\begin{preuve2}{(Proposition)} :
..
\end{preuve2}

\textbf{remarque} : une preuve plus rapide est possible : $[f\in E^{*}$, $f$ continue en $x_{0}\Rightarrow$] $f\mathcal{C}^{+\infty}(\RR)$ et $f'(x)=f'(0).f(x)$, équation différentielle (ED): $y'=ky$ de solution exponentielle. Mais on a besoin des équations différentielles dans cette preuve, et de la connaissance des exponentielles comme solution de ces (ED)...

\subsection{Recherche des solutions monotones sur $\RR$}

Soit $f$ une solution monotone sur $\RR$, solution de $E^{*}$. Pour tout réel $x$, il existe des suites adjacentes $(u_{n})$ et $(v_{n})$ de nombres rationnels qui convergent vers $x$. Pour tout $n$, on a $f(u_{n})=a^{u_{n}}$ où $a=f(1)$, la fonction $exp_{a}$ étant continue sur $\RR$, on en déduit que la suite de terme général $(f(u_{n}))$ converge vers $a^{x}$ (de même pour $(f(v_{n}))$). 
Or $\forall n\in\NN$, $f(u_{n})\leqslant f(x)\leqslant f(v_{n})$ (ou $f(v_{n})\leqslant f(x)\leqslant f(u_{n})$, suivant que $f$ croissante ou décroissante), donc en passant à la limite, $a^{x}\leqslant f(x)\leqslant a^{x}$, donc $f(x)=a^{x}$.\\

Conclusion : les solutions de $E^{*}$ qui sont monotones sur $\RR$ sont les fonctions exponentielles.

\section{Applications}

\subsection{Exemples d'équations fonctionnelles se ramenant à la précédente}

Déterminer les fonctions continues sur $\RR$ solutions des équations fonctionnelles :\\
(0) $f(x+y)=f(x)+f(y)$\\
(1) $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x).f(y)$\\

\begin{preuve}: (0) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\Rightarrow$ $exp(f(x+y))$=$exp(f(x))+exp(f(y))$, donc $exp(f(x+y))$=$exp(f(x)).exp(f(y))$, donc en posant $g(x)=exp(f(x))$, on a $g(x+y)=g(x).g(y)$, donc $g(x)=a^{x}$ (ou $g(x)\equiv 0$), d'où $f(x)=\ln (a^{x})$=$\ln (e^{x\ln a})$=$x\ln a$ ($a>0$ pour que $x\mapsto a^{x}$ ait un sens , bien sûr), donc $f(x)=K.x$, $K\in\RR$.\\
Réciproquement, on vérifie que toute fonction $x\mapsto K.x$, $K\in \RR$ vérifie bien $(0)$\\
(1) soit $g(x):=1+f(x)$, donc $g(x).g(y)=1+f(x)+f(y)+f(x).f(y)$=$1+f(x+y)$=$g(x+y)$\\
Or les solutions continues sur $\RR$ de $g(x).g(y)=g(x+y)$ sont $x\mapsto 0$ et $x\mapsto a^{x}$, donc les solutions de $(1)$ sont $x\mapsto -1$ et $x\mapsto a^{x}-1$\\
\end{preuve}

\subsection{Exemples d'intervention des fonctions exponentielles}

Beaucoup plus classique...

\section{Compléments}

\subsection{Remarques}

-ne pas oublier de citer la fonction nulle comme solution de monotone sur $\RR$, ou continue sur $\RR$, etc...\\
-$\QQ$ dense dans $\RR$ intervient pour dire qu'il existe une suite tq. etc...\\
-si $f$ solution de $E$, alors $f$ continue $\Leftrightarrow$ $f$ monotone (on peut montrer cette équivalence avant si on veut).\\
-parler de la fausse fonction exponentielle\\
-a t-on : $f(x+y)=f(x).f(y)\Rightarrow f(x)=e^{\alpha x}$ ? Bien sûr que non, sinon on n'introduirais pas les conditions : $f$ continue, $f$ monotone, etc...

\subsection{Fonction exponentielle}

Introduction de la fonction exponentielle, etc...

\subsection{Preuves en cours}

\begin{preuve} : \\
(1) soit $x\in\RR$, $n\in\NN$, $f\in E$ continue. Alors $f(nx)=f(x+...+x)=f(x)...f(x)$=$f(x)^{n}$\\
(2) soit $n\in\ZZ_{+}^{*}$. $f(-x.n)$=$f(-x-x....-x)$=$f(-x)...f(-x)$, or $f(0)=1=f(x-x)=f(x).f(-x)$, donc $f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$, et $f(-x.n)=\dfrac{1}{f(x)}$...$\dfrac{1}{f(x)}$=$\dfrac{1}{f(x)^{n}}$=$f(x)^{-n}$, donc $f(N.x)$=$f(x)^{N}$ en posant $N=-n\in\ZZ_{-}$ (et donc propriété vraie sur $\ZZ$ tout entier, par (1)).\\
(3) soit $n=\dfrac{p}{q}$, $f(\dfrac{p}{q}x)$=$[f(x)]^{\frac{p}{q}}$ ?
$f(px)$=$f(\dfrac{p}{q}.qx)$=$[f(x)]^{p}$=$f(\dfrac{p}{q}.qx)$=$f(\dfrac{p}{q}x+...+\dfrac{p}{q}x)$=$f(\dfrac{p}{x})^{q}$; donc $f(x)^{p}=f(\dfrac{p}{q}.x)^{q}$, d'où $f(x)^{\frac{p}{q}}=f(\dfrac{p}{q}.x)$ (en multipliant par $f(x)^{\frac{1}{q}}$ de chaque côté, puis règle des fonctions puissances).\\
(4) $\forall r\in\QQ$, $x\in\RR$, $f(rx)=f(x)^{r}$, en particulier $f(1)^{r}=f(r)$ ie $f(r)=e^{r\ln f(1)}$ $\forall r\in\QQ$. Soit $x\in\RR$, $(r_{n})\in\QQ$ tq $r_{n}\rightarrow x$, donc $f(r_{n}$
\end{preuve}


\end{document}