\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
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%\usepackage{marvosym}
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
\setmarginsrb{2,5cm}{0,5cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt}
%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
\date{}
%
\title{Inégalités des accroissements finis - Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions}
%\author{Gwendal}
%pour la date en français
\def\today{\ifnum\day=1\relax 1\raisebox{.6ex}{\small er}
\else \number\day\fi
\space\ifcase\month\or janvier\or février\or mars\or avril\or mai\or juin\or juillet\or août\or septembre\or octobre\or novembre\or décembre\fi\space\number\year}  
% guillemets ouvrant \og  fermant \fg
%
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%
\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
%
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Prérequis\footnotemark[1]} :& -Théorème des valeurs intermédiaires\\
 & -Théorème de Rolle\\
\end{tabular} \\
%
\footnotetext[1]{L'exposé a été présenté à Bordeaux(1) en 2005, tapé par Gwendal Haudebourg. Réalisé avec \LaTeX. Mis à jour le 10/06/2007.}

\section{Inégalité des accroissements finis}

\begin{pluslong2}[Théorème]{(des accroissements finis)} :
Soient $(a,b)\in \mathbb{R}^{2}$, et $f:[a,b]\to \RR$  une application continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe au moins un point $c \in ]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.
\end{pluslong2}

\begin{preuve} :
Soit $\varphi$ tel que $\begin{tabular}[t]{rlc}
$[a,b]$ & $\to$ & \RR \\
$x$ & $\mapsto$ & $f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$\\
\end{tabular}
$\\ On a $\varphi(b)=\varphi(a)=0$, donc par Rolle, $\exists c \in ]a,b[$ tel que $\varphi'(c)=0$ 
\end{preuve}

\begin{pluslong}[Corollaire :]{(Inégalité des accroissements finis)}
Soient $(a,b)\in \mathbb{R}^{2}$, et $f:[a,b]\to \RR$ une application continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Si de plus, $\exists (m,M) \in \RR^{2}$, tel que $m \leq f'(x) \leq M$ $\forall x \in ]a,b[$, on a alors :\\
$m(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq M(b-a)$, $\forall x \in ]a,b[$.
\end{pluslong}
%
\begin{moyen2}[remarques] :\\
-Si $f$ est bornée, le taux d'accroissement aussi.\\
-Pour $m$ et $M$ petit, si on connait $f(a)$, on peut donc approcher $f(b)$. Ex : calcul de $\sqrt{105}$\\
Soit $f$ : $\begin{tabular}[t]{rlc}
$[100,121]$ & $\to$ & \RR \\
$x$ & $\mapsto$ & $\sqrt{x}$\\
\end{tabular}
$\\ On a : $\frac{1}{22} \leq f'(x) \leq \frac{1}{20}$, donc $\frac{5}{22} \leq \sqrt{105}-\sqrt{100} \leq \frac{5}{20}$, donc $10,22 \leq \sqrt{105} \leq 11,25$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Corollaire :]
soit $f : I \longmapsto \RR$, continue sur $I$, dérivable sur $I$ (où $I$ intervalle de bornes $a$ et $b$). S'il existe $M \in \RR_{+}$ tel que $\forall x \in I$, $\vert f'(x) \vert \leq M$, on a alors :\\
\begin{center}
$\vert f(b)-f(a) \vert \leq M \vert b-a \vert$
\end{center}
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Exemple :]
soit $\vert \cos a - \cos b \vert \leq \vert b-a \vert$, $\forall (a,b) \in \RR^{2}$.
\end{moyen2}
%
\section{Application à l'étude de fonctions}

\subsection{Interprétation graphique}

\begin{court}
Soit $f$ vérifiant les hypothèses du IAF. Alors $\forall$ $x$ $\in$ $]a,b[$, $m(x-a)+f(a) \leq f(x) \leq M(x-a)+f(a) $,\\
et $M(x-b)+f(b) \leq f(x) \leq m(x-b)+f(b) $. 
\\
\hspace{0,7cm} ex : $f$ : $\begin{tabular}[t]{rlc}
$[1,2]$ & $\to$ & \RR \\
$x$ & $\mapsto$ & $\frac{1}{x}$\\
\end{tabular}
$
\end{court}

\subsection{Théorème de Lagrange}

\begin{court}
Soit $I$ un intervalle réel infini (ou non), et $f:I \to \mathbb{R}$ une application continue sur $I$, et dérivable sur $\overset{o}{I}$. Alors :\\
(i) $\forall x \in \overset{o}{I}, f'(x) \geqslant 0 \iff f$ croissante sur $I$\\ 
(ii)$\forall x \in \overset{o}{I}, f'(x)=0 \iff f$ constante sur $I$
\end{court}

\begin{preuve} :
(i) ($\Rightarrow$) Si $\forall x \in \overset{o}{I}, f'(x) \geqslant 0$, on prend $(a,b)\in I^2$
avec $a<b$. Alors le théorème des accroissements finis appliqué à $f\Rightarrow \exists c \in ]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$. Comme $f'(c)\geqslant 0$, on obtient $f(b)\geqslant f(a)$, donc f croissante sur $[a,b]$, donc f est croissante sur $I$.\\
(i) ($\Leftarrow$) ne relève pas du TAF
\end{preuve}

\section{Application à l'étude de suite}

\subsection{Etude de suites par comparaison}

\begin{court}
Etude de $(u_{n})_{n}$, $u_{n}=\sum\limits_{p=n+1}^{2n}\frac{1}{p}$.\\
L'IAF appliqué à $f$ : $\begin{tabular}[t]{rlc}
$[x,x+1]$ & $\to$ & \RR \\
$t$ & $\mapsto$ & $\ln t$\\
\end{tabular}
$, pour $x \in \RR_{+}^{*}$\\
On a :\\
\hspace{0,7cm} $\frac{1}{x+1} \leq \ln (x+1) - \ln (x) \leq \frac{1}{x}$\\
\hspace{0,7cm} $u_{n} \leq \ln 2n - \ln n \leq u_{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{2n}$\\
\hspace{0,7cm} $u_{n} \leq \ln 2 \leq u_{n}+\frac{1}{2n}$\\
\hspace{0,7cm} $\ln 2 - \frac{1}{2n} \leq u_{n} \leq \ln 2$\\
D'où :\\
\hspace{0,7cm} $\displaystyle\lim_{n \to \infty}u_{n}=\ln 2$
\end{court}

\begin{moyen2}[remarque :]
si on nous demande une autre preuve de la convergence de $u_{n}$ :\\
\hspace{1cm} $0 \leq u_{n} \leq \frac{n}{n+1} \leq 1$\\
\hspace{1cm} $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \geq 0$\\
Donc $u_{n}$ est majorée, croissante, donc converge. 
\end{moyen2}

\subsection{Etudes de suites $u_{n+1}=f(u_{n})$}

\begin{moyen}[Théorème du point fixe :]
Soit $f:[a,b]\longmapsto [a,b]$, continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$. Si $\forall x \in ]a,b[$, $\vert f'(x) \vert \leq k, k \in [0,1[$, alors $f(x)=x$ admet une unique solution dans $[a,b]$.
\end{moyen}

\begin{preuve} :
Existence :\\
$f(a) \leq a, f(b) \geq b$, car $f:[a,b]\longmapsto [a,b]$. Soit $g$ : $\begin{tabular}[t]{rlc}
$[a,b]$ & $\to$ & \RR \\
$x$ & $\mapsto$ & $f(x)-x$\\
\end{tabular}
$\\
On a : $g(a) \geq 0$, $g(b) \leq 0$, et $g$ continue sur [a,b], donc d'après le TVI, $\exists x \in [a,b]$ tel que $g(x)=0$ (ie $f(x)=x$).\\
Unicité :\\
Soient $x$ et $y$ deux points fixes (ie $f(x)=x$, $f(y)=y$). D'après IAF, $\vert f(x)-f(y) \vert \leq  \vert x-y  \vert$, $\Rightarrow$ $\vert x-y \vert \leq \vert x-y \vert$, donc $x=y$.
\end{preuve}

\begin{pluslong}[Corollaire :]{Approximations successives}
Sous les hypothèses du théorème précédent, soit $(u_{n})_{n}$ définie par : $u_{0} \in [a,b]$, $u_{n+1}=f(u_{n})$. Alors $(u_{n})_{n}$ converge, et sa limite $l$, point fixe de $f$, est telle que $\forall n \in \NN$, $\vert u_{n} - l \vert \leq k^{n}(b-a)$.
\end{pluslong}

\begin{moyen2}[exemple]:
Etude de $u_{0}=0$, $u_{n+1}=\sqrt{\frac{3}{2} +u_{n}}$\\
Si $l$ existe, alors $l=\sqrt{\frac{3}{2}+l}$, d'où $l=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$ ($l\geq 0$).\\
$k=\frac{1}{\sqrt{14}} \leq \frac{1}{3}$, donc $\vert u_{n}-l \vert \leq \frac{1}{3^{n}}.2$
\end{moyen2}

\end{document}