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\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
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% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
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% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
%
\title{Exposé 70 : Croissance comparée des fonctions réelles $x \to e^{x}$, $x \to x^{a}$, $x \to \ln x$ au voisinage de $+\infty$. Applications. Calculatrice.}
%\author{Gwendal}
\date{}
%pour la date en français
\def\today{\ifnum\day=1\relax 1\raisebox{.6ex}{\small er}
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\space\ifcase\month\or janvier\or février\or mars\or avril\or mai\or juin\or juillet\or août\or septembre\or octobre\or novembre\or décembre\fi\space\number\year}  
% guillemets ouvrant \og  fermant \fg
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{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\textbf{Prérequis}\footnotemark[1] :\\
-Connaissance des fonctions citées dans le titre : définition, sens de variation, limites\\
-Opérations élémentaires sur les limites\\

\footnotetext[1]{L'exposé a été tapé et présenté à Bordeaux(4) le 23/11/2005 par Gwendal, mis à jour le 06/02/2006.}

\textsc{Introduction} : on a déjà vu que ces trois fonctions sont croissantes sur $] 0,+ \infty [$, et que leurs limites en $+ \infty$ est $+\infty$. On cherche donc une "hiérarchie" de cette croissance vers $+ \infty$; autrement dit, on veut comparer la vitesse de croissance vers $+\infty$ (on peut faire un tableau sur transparent).\\

\section{Croissance comparée}

\subsection{Relation de comparaison}

\begin{moyen2}[Définition] : si $f$ et $g$ sont deux fonctions tels que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$, $f$ est dite prépondérante devant $g$ (ou $g$ négligeable devant $f$) si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=+\infty$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Notation de Hardy] : $g<<f$, \textbf{Notation de Landau :} $g=\circ(f)$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Remarque] : cette relation est transitive. Par abus de langage nous écrivons $g(x)<<f(x)$ au lieu de $g<<f$
\end{moyen2}

\subsection{Fonctions logarithmes et puissances}

\begin{moyen2}[Lemme] : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : soit $f$:
\begin{tabular}[t]{rlc}
$]0,+\infty[$ & $\to$ & $\RR$ \\
$x$ & $\mapsto$ & $\ln x -x$\\
\end{tabular}\\
Avec une simple étude de fonction, on obtient : $f(x)<0$, $\forall x \in \RR_{+}^{*}$\\
ie $\ln x <x$, $\forall x>0$\\
ie $\ln \sqrt{x}\leqslant \sqrt{x}$, $\forall x>0$\\
ie $\dfrac{\ln x}{2}  \leqslant \sqrt{x}$, $\forall x>0$\\
Pour $x>1$, $\ln x\geqslant 0$ d'où $0\leqslant \frac{\ln x}{x} \leqslant \frac{2}{\sqrt{x}}$ or $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ donc (théorème des gendarmes) $$\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Théorème 1] : $\forall a \in \RR_{+}^{*}$, $b \in \RR$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^{a}}{(\ln x)^{b}}=+\infty$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : $\dfrac{x^{a}}{(\ln x)^b}=(\dfrac{x^{\frac{a}{b}}}{\ln x})^{b}=(\dfrac{x^{\frac{a}{b}}}{\frac{b}{a}\ln x^\frac{a}{b}})^{b}=(\dfrac{a}{b}.\dfrac{x^{\frac{a}{b}}}{\ln x^{\frac{a}{b}}})$\\
on pose $X=x^{\frac{a}{b}}$, or $a>0$ et $b>0$ par hypothèse, donc :
$$\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^{a}}{(\ln x)^{b}}=\lim_{X \to +\infty}(\dfrac{a}{b}.\dfrac{X}{\ln X})=+\infty$$\\
Si $b\leqslant 0$, le résultat est trivialement vrai.
\end{preuve}


\begin{moyen2}[Conséquence] : $\forall a \in \RR_{+}^{*}$, $\forall b \in \RR$, $(\ln x)^{b}<<x^{a}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Corollaire 1] : $\forall b \in \RR$, $(\ln x)^{b}<<P(x)$ où $P$ est une fonction polynômiale non constante.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : si $P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}$ avec $n\geqslant 1$ et $a_{n}\neq 0$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)^{b}}{P(x)}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)^{b}}{x^{n}}.\dfrac{x^{n}}{P(x)}$, or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^{n}}{P(x)}=\dfrac{1}{a_{n}}$
\end{preuve}

\subsection{Fonctions puissances et exponentielles}

\begin{moyen2}[Théorème 2] : $\forall a \in \RR_{+}^{*}$, $\forall b \in \RR_{+}^{*}$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(e^{x})^{a}}{x^{a}}=+\infty$ ie $x^{a}<<(e^{x})^{b}$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : $\dfrac{(e^{x})^{b}}{x^{a}}=\dfrac{e^{bx}}{e^{a\ln x}}=e^{bx-a\ln x}=e^{x(b-\frac{a\ln x}{x})}$ or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(e^{x})^{b}}{x^{a}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}e^{xb}=+\infty$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Corollaire 2] : $\forall b \in \RR_{+}^{*}$, on a $P(x)<<(e^{x})^{b}$ où $P(x)$ est une fonction polynôme non constante.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : si $P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}$ avec $n\geqslant 1$ et $a_{n}\neq 0$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(e^{x})^b}{P(x)}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(e^{x})^{b}}{x^{n}}.\dfrac{x^{n}}{P(x)}$, or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^{n}}{P(x)}=\dfrac{1}{a_{n}}$
\end{preuve}

\subsection{Résumé}

Pour en revenir au problème initialement posé, pour tout triplet $(a,b,c)$ de réels strictements positifs, les fonctions $x \to (\ln x)^{b}$, $x\to x^{a}$ et $(e^{x})^{c}$ sont trictements croissantes sur $]0,+\infty[$, tendent vers $+\infty$ en $+\infty$ et $(\ln x)^{b}<<x^{a}<<(e^{x})^{c}$ au voisinage de $+\infty$

\subsection{Visualisation}
\newpage
%\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm]{dessin_1.eps}
%\end{center}

\section{Applications}

\subsection{Avec la calculatrice}

Soit $f :$
\begin{tabular}[t]{rlc}
$]0,+\infty[$ & $\to$ & $\RR$ \\
$x$ & $\mapsto$ & $(\ln x)^{5}x^{5}e^{-x}$\\
\end{tabular}\\
\\
(i) Tracer $f$ sur $[0,6]$. Que peut-on supposer ?\\
(ii) Refaire le tracé sur $[0,50]$\\
(iii) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=$ ?

\begin{preuve} : $f(x)=(\ln x)^{5}x^{5}e^{-x}$ $=\dfrac{(\ln x)^{5}}{x^{5}}\times\dfrac{x^{10}}{e^{x}}\rightarrow 0$
\end{preuve}

\subsection{Calcul de limites}

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^{2}+1-\ln x$
$$\lim_{x \to +\infty}x^{2}+1-\ln x=\lim_{x \to +\infty}x^{2}(1+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{\ln x}{x^{2}})=+\infty$$
\\
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0+}x^{x}$ (on pose $X=\dfrac{1}{x}$)\\
$$\lim_{x \to 0+}x^{x}=\lim_{x \to 0+}e^{x\ln x}=\lim_{x \to +\infty}e^{\frac{\ln \frac{1}{X}}{X}}=\lim_{X \to +\infty}e^{-\frac{\ln X}{X}}=1$$ 

\subsection{$\ln x$ n'est pas une fonction fraction rationnelle}

On raisonne par l'absurde : $\ln x=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ avec $P$ et $Q$ des fonctions polynômes\\
$P(x)=a_{p}x^{p}+...+a_{0}$ avec $a_{p}\neq 0$ et $a_{i}\in \RR$\\
$Q(x)=b_{q}x^{q}+...+b_{0}$ avec $b_{p}\neq 0$ et $b_{i}\in \RR$\\
Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$, on a $p>q$, donc $p-q>0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{p-q}}=0$ (théorème 2)\\
Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{p-q}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{P(x)}{x^{p-q}.Q(x)}=\dfrac{a_{p}}{b_{q}}=0$ ce qui est absurde, car $a_{p}\neq 0$,, $b_{p}\neq 0$.

\section{Compléments}

\subsection{Quelques limites utiles}

$\displaystyle\lim_{x \to 0}x\ln x=0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}=0$, $\forall \alpha,\beta \in (\RR_{+}^{*}\times \RR)$

\begin{preuve} : soit $X=\dfrac{1}{x}$\\
$\displaystyle\lim_{x \to 0}x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}$ $=\displaystyle\lim_{X \to +\infty}(\dfrac{1}{X})^{\alpha}(\ln X)^{\beta}$ $=\displaystyle\lim_{X \to +\infty}\dfrac{(\ln X)^{\beta}}{X^{\alpha}}=0$
\end{preuve}

\subsection{Une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$}

\begin{center}
Soit $f : x \in \RR\mapsto\left\{ \begin{array}{ll}
\exp(\dfrac{-1}{x^{2}}) & \textrm{si $x\neq 0$}\\
0 & \textrm{si $x=0$}
\end{array} \right.$
\end{center}

On prouve par récurrence que : `` $\forall x\neq 0$, $\forall n \in \NN$, $f^{(n)}(x)=P_{n}(\frac{1}{x})e^{\frac{-1}{x^{2}}}$'' , où $P_{n}$ est une fonction polynôme. On en déduit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\RR$.\\
On pose $u=\dfrac{-1}{x^{2}}$, puis $\displaystyle \lim_{x \to 0}f^{(n)}(x)=$ $\displaystyle \lim_{u \to +\infty}P_{n}(u)e^{-u^{2}}=0$ par le Corollaire 2 

\subsection{Théorème de composition des limites}

Il faudrait rajouter dans les prérequis le théorème des composition des limites :\\
\\
Soient $f:A\rightarrow \RR$ et $g:B\rightarrow \RR$, $f(A)\subseteq B$, soit $a \in \AA{}$ et $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=l$, $\displaystyle\lim_{x \to l}g(x)=L$ alors $\displaystyle\lim_{x \to a}g\circ f(x)=L$

\subsection{Autres applications}

1) A t'on $(\ln x)^{b}<< (P(x))^{\frac{1}{3}}$ où $P$ polynôme ?\\
$(P(x))^{\frac{1}{3}}=(a_{n}x^{n}+...+a_{0})^{\frac{1}{3}}$ $=(x_{n}(a_{n}+\dfrac{a_{n-1}}{x}+...+\dfrac{a_{0}}{x^{n}}))^{\frac{1}{3}}$ $=x^{\frac{n}{3}}.f(x)$ où $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=a_{n}^{\frac{1}{3}}$\\
Donc $\dfrac{(\ln x)^{b}}{P(x)^{1}{3}}$ $\dfrac{(\ln x)^{b}}{x^{n}{3}}.\dfrac{1}{f(x)}\rightarrow 0$\\
Donc $(\ln x)^{b}<< (P(x))^{\frac{1}{3}}$\\
\\
2) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{(x^{2}+x+1)^{1/3}}{(\ln e^{\sqrt{x}}+x^{12})^{2}}=$ ?\\
\\
Mettre des exercices issus du Balaguer

\subsection{Autre définition}

Une autre définition peut-être plus agréable :\\
\\
\textbf{Définition :} si $f$ et $g$ sont deux fonctions $[a,+\infty[ \to \RR$ tels que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$, $f$ est dite prépondérante devant $g$ (ou $g$ négligeable devant $f$) s'il existe $h:I\supset J=[b,+\infty[$ $\RR$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}h(x)=0$ tq. $f=g.h$

\subsection{Exercices}

Montrons que $x^{a}<<e^{x^{\alpha}}$, $\alpha>0$, $a\in \RR$\\
$x^{a}=(x^{\alpha})^{\frac{a}{\alpha}}$=$(\dfrac{x^{\alpha}(e^{x^{\alpha})^{b}})}{(e^{x^{\alpha})^{b}}})^{\frac{a}{\alpha}}$ $=(\dfrac{x^{\alpha}}{(e^{x^{\alpha}})^{b}})^{\frac{a}{\alpha}}({(e^{x^{\alpha}})^{b}})^{\frac{a}{\alpha}}$ $\longrightarrow 0$\\
\\
Montrons que $x^{a}<<x^{\ln x}$, $a\in \RR$\\
$\dfrac{x^{a}}{x^{\ln x}}=x^{a-\ln x}=e^{a \ln x -(\ln x)^{2}}$ $=e^{(\ln x)^{2}(\frac{a}{\ln x}-1)}$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^{a}}{x^{\ln x}}=0$
\\
Montrons que $x^{\ln x}<<e^{cx}$, $c \in \RR$\\
$e^{(\ln x)^{2}-cx}$ $=e^{x(\frac{(\ln x)^{2}}{x}-c)}\rightarrow 0$\\
\\
De même, on montre que : $x^{\ln x}<<e^{x^{\alpha}}$ et $(\ln x)^{b}<<x^{\frac{1}{\ln (\ln x)}}$

\end{document}