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% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
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% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
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\date{}
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\title{Exposé 67 : Fonctions polynômes}
%\author{Gwendal}
%pour la date en français
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%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
%
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Prérequis\footnotemark[1]} :& -fonctions puissances $x \mapsto x^{n}$, $n \in \NN$\\
 & -``principe" de récurrence\\
\end{tabular} \\

\footnotetext[1]{L'exposé s'inspire de celui de Johann et de celui de Sandra, plus des nombreux compléments de M.T. Tapé par Gwendal. Mis à jour le 17/06/2007.}

\begin{tabular}{ll}
\textbf{Cadre} : on considère le corps $\KK=\RR$ ou $\CC$\\
\end{tabular} 

\section{Généralitées sur les fonctions polynômes}

\subsection{Définition}

Soit $f$ : $\KK \rightarrow \KK$. On dit que $f$ est une fonction polynôme sur $\KK$ s'il existe $n \in \NN$ et un $(n+1)$ uplets ($a_{0},...,a_{n}) \in \KK^{n+1}$ tq. $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$, $\forall x \in \KK$\\
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ est appelé écriture polynômiale de $f$ (unicité montré plus loin, dans le cas $f\nequiv 0$).

\underline{exemples} : les fonctions constantes, affines et puissances sont des fonctions polynômes.

\subsection{Propriété fondamentale}

\begin{moyen2}[Théorème] : soient $(a_{0},...,a_{n})\in \KK^{n+1}$. Alors : ($\forall x \in \KK$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0$) $\Leftrightarrow$ ($a_{0}=...=a_{n}=0$) 
\end{moyen2}

\begin{preuve} : \\
($\Leftarrow$) évident\\
($\Rightarrow$) par récurrence : $\mathcal{P}_{n}$: ($\forall x \in \KK$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0$) $\Rightarrow$ ($a_{0}=...=a_{n}=0$)\\
$\mathcal{P}_{0}$ est trivialement vraie\\
Montrons que $\forall n \in \NN^{*}$, [$\mathcal{P}_{n-1}\Rightarrow \mathcal{P}_{n}$]. Soit $n \in \NN$; supposons $\mathcal{P}_{n-1}$.\\
Soit $(a_{0},...,a_{n})\in \KK^{n+1}$ tq. $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0$ $\forall x \in \KK$.\\
En particulier $f(2x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}(2x)^{k}=0$ et $2^{n}f(x)=0$ d'où $2^{n}f(x)-f(2x)=0$=$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(2^{n}-2^{k})a_{k}x^{k}$\\=$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2^{n}-2^{k})a_{k}x^{k}$=$0$. Donc par l'hypothèse de récurrence : $(2^{n}-2^{k})a_{k}=0$, $\forall k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$ or $2^{n}\neq 2^{k}$, $\forall k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$ donc $a_{k}=0$, $\forall k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$, donc $\forall x \in \KK, f(x)=a_{n}x^{n}$; or $f(x)=0 \Rightarrow a_{n}x^{n}=0$, $\forall x \in \KK$; par ailleurs $f(1)=a_{n}$, d'où $a_{n}=0$, et par suite $\forall k\in\KK$, $a_{k}=0$ d'où $\mathcal{P}_{n}$ est vérifiée.
\end{preuve}

\subsection{Unicité de l'écriture polynomiale}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $f$ une fonction polynôme non nulle. Alors il existe un unique $n \in \NN$ et un unique\\
$(n+1)$ uplets $(a_{0},...,a_{n})\in \KK^{n+1}$ avec $a_{n}\neq 0$ tq. $\forall x \in \KK$, $f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : l'existence est claire, car $f$ est supposée être une fonction polynôme non nulle.\\
unicité : soit $f$ non nulle. On suppose $\exists n \in \NN$, $(a_{0},...,a_{n})\in \KK^{n+1}$, $a_{n}\neq 0$, $\exists p \in \NN$, $(b_{0},...,b_{p})\in \KK^{p+1}$, $b_{p}\neq 0$ tq.:\\
$\forall x \in \KK$, $f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$, $\forall x \in \KK$, $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{p}x^{p}$\\
On suppose par exemple $n \geqslant p$; donc $\forall x \in \KK, (a_{0}-b_{0})+(a_{1}-b_{1})x+...+(a_{p}-b_{p})x^{p}+a_{p+1}x^{p+1}+...+a_{n}x^{n}=0$\\
D'après le théorème précédent, on a : $\forall 0\leqslant k \leqslant p$, $a_{k}-b_{k}=0$ $\Leftrightarrow a_{k}=b_{k}$ et $\forall k>p$, $a_{k}=0$\\
On a donc unicité de l'écriture polynomiale dans le cas $f\nequiv 0$.
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Proposition] : deux fonctions polynômes sont égales ssi leurs coefficients de mêmes indices sont égaux. 
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Définition] : dans le théorème précédent, $n$ est appelé degré de la fonction polynôme $f$, on note $deg(f)=n$, ie $deg(f):=max\lbrace k\in\NN,a_{k}\neq 0 \rbrace$\\
Par convention, si $f\equiv0$ alors $deg(f)=-\infty$ (on utiliste cette convention pour la formule du degré d'un produit).
\end{moyen2}

\section{Opérations sur les fonctions polynômes}

Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes. On pose $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$, $a_{n}\neq0$ et $g(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{p}b_{k}x^{k}$, $b_{p}\neq 0$

\subsection{Somme}

\begin{moyen2}[Proposition] : $(f+g)$ est une fonction polynôme et $deg(f+g)\leqslant max(deg(f),deg(g))$. De plus, si $deg(f)\neq deg(g)$, alors $deg(f+g)=max(deg(f),deg(g))$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on suppose $p\leqslant n$. $\forall x \in \KK$, $(f+g)(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{p}(a_{k}+b_{k})x^{k}+\displaystyle \sum_{k=p+1}^{n}(a_{k}x^{k})$ d'où le résultat.
\end{preuve}

\subsection{Produit}

\textbf{Proposition} : $(f.g)$ est une fonction polynôme et $deg(f.g)=deg(f)+deg(g)$.

\begin{preuve} : $\forall x \in \KK$, $(f.g)(x)$ $=(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$). ($\displaystyle \sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}$)=$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\displaystyle \sum_{l=0}^{p}(a_{k}b_{l}x^{k+l})$ donc $(f.g)(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n+p}c_{k}x^{k}$\\ où $c_{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$. De plus, $a_{n}\neq 0$ et $b_{p}\neq 0$ donc $c_{n+p}=a_{n}b_{p}\neq 0$\\ donc $deg(f.g)=p+n=deg(f)+deg(g)$
\end{preuve}

\underline{remarque} : $\forall \lambda \in \KK^{*}$, $(\lambda f)$ est une fonction polynôme et $deg(\lambda f)=deg(f)$. En effet : $(\lambda f)(x)$=$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}x^{k}$

\subsection{Composée}

\textbf{Proposition} : $(f\circ g)$ est une fonction polynôme et $deg(f\circ  g)=deg(f).deg(g)$.

\begin{preuve} : $\forall x \in \KK$, $(f\circ g)(x)$ $=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(a_{k}(g(x))^{k}$= $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}(\displaystyle \sum_{l=0}^{p}(b_{l}x^{l})^{k}$\\
donc $f \circ g$ est une fonction polynôme, dont le terme de plus haut degré a pour coefficient $a_{n}(b_{p})^{n}$
\end{preuve}

\subsection{Polynômes à degrés echelonnés}

\begin{moyen2}[Proposition] : soit $n$ un entier, soit $f$ une fonction polynôme de degré $n$, $\forall k\in \llbracket 0,n \rrbracket$, $f_{k}$ est une fonction polynôme de degré $k$. Alors il existe un unique $(n+1)-\KK$ uplets $(a_{0},...,a_{n})$ tq. $f=a_{0}f_{0}+...+a_{n}f_{n}$ avec $a_{n}\neq 0$
\end{moyen2}

\section{Etude de la fonction polynôme}

\subsection{Limites}

\begin{moyen2}[Proposition] : soit $f$ une fonction polynôme de degré $n$. Alors : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}a_{n}x^{n}$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}a_{n}x^{n}$
\end{moyen2}

\subsection{Propriétés différentielles}

\begin{moyen2}[Proposition] : $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$. Alors $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\KK)$, et on a : \\
(i) $f'(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$\\
(ii) $f^{[r]}(x)=\displaystyle \sum_{k=r}^{n}\dfrac{k!}{(k-r)!}a_{k}x^{k-r}$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (i) $\forall k \in \NN$, $g_{k}:x \mapsto x^{k}$ est une fonction $\mathcal{C}^{\infty}(\KK)$ donc $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}(\KK)$ comme somme de fonctions $\mathcal{C}^{\infty}(\KK)$, et $\forall k \in \NN^{*}$, $(a_{k}g_{k})'(x)=ka_{k}x^{k-1}$ et $g_{0}'(x)=0$, donc $f'(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$\\
(ii) par récurrence.
\end{preuve}

\begin{tabular}{ll}
\underline{remarque} :& -si $k>n$, $f^{[k]}=0$\\
 & -si $a_{n}\neq 0$, $f^{n}\nequiv$\\
\end{tabular}

\subsection{Formule de Taylor}

\begin{moyen2}[Proposition] : soit $x_{0}\in \KK$, $f$ une fonction polynôme de degré $n$. Alors on a : $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : d'après le théorème des polynômes à degré échelonnés, $(x-x_{0})^{k}$ étant un polynôme de degré $k$ ($0\leqslant k \leqslant n$), on a : $\exists (\alpha_{0},...,\alpha_{n})\in \KK^{n+1}$ tq. $f(x)=\alpha_{n}(x-x_{0})^{n}+\alpha_{n-1}(x-x_{0})^{n-1}+...+\alpha_{0}$.\\
On dérive à l'ordre $k$ et on obtient $f^{(k)}(x)=k!\alpha_{k}+(x-x_{0})g(x)$ avec $g$ fonction polynôme.\\
$f^{(k)}(x_{0})=k!\alpha_{k}$ ie $\forall k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $\alpha_{k}=\dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}$, donc $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}$
\end{preuve}

\section{Divisibilité et racines}

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $n$

\subsection{Définition}

\textbf{Définition} : soit $g$ une fonction polynôme. On dit que :
\begin{itemize} 
\item $f$ est divisible par $g$ s'il existe $h$ fonction polynôme tq. $f=gh$ 
\item $a\in \KK$ est racine de $f$ si $f(a)=0$\\
\end{itemize}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $\alpha \in \KK$. Alors [$\alpha$ est racine de $f]\Leftrightarrow$ [il existe une fonction polynôme $h$ tq. $f(x)=(x-\alpha)h(x)$]\\
(ie tq. $f$ divisible par $(x-\alpha))$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : \\
($\Leftarrow$) trivial.\\
($\Rightarrow$)soit $\alpha \in \KK$ racine de $f\Leftrightarrow$ ie $f(\alpha)=0$. On applique la formule de Taylor à $f:$ au point $\alpha$\\
$f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(x-\alpha)^{k}$ $=f(\alpha)+(x-\alpha).[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(x-\alpha)^{k-1}]$ donc $(x-\alpha)$ divise $f$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $k$ fixé, $\alpha \in \KK$, $k\geqslant 1$, $f$ une fonction polynôme. Les propriétés suivantes sont équivalentes : \\
(i) il existe $g$ fonction polynôme tq. $f(x)=(x-a)^{k}g(x)$ $\forall x \in \KK$ et $g(a)\neq 0$\\
(ii)$f(a)=f'(a)=...=f^{(k-1)}(a)=0$ et $f^{(k)}(a)\neq 0$
\end{moyen2}

\begin{moyen2} [Définition] : on dit alors que $a$ est racine de $f$ d'ordre $k$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : d'après Taylor, (ii)$\Rightarrow$ $f(x)=\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+$...$+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ car $f(a)=...=f^{(k-1)}(a)=0$\\
Donc $f(x)=(x-a)^{k}g(x)$ où $g(x)=\displaystyle \sum_{j=k}^{n}\dfrac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j-k}$ donc $g$ est une fonction polynôme\\
$g(a)=\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}+\dfrac{f^{(k+1)}(a)}{k+1!}(a-a)$+...+$\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(a-a)^{n-k}$ $=\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$  donc $g(a)\neq 0$\\
(i) $\Rightarrow$ (ii)  calcul (cf. polycopié)
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $f$ une fonction polynôme de degré $n$, $f\nequiv 0$. Alors $f$ admet au plus $n$ racines dans $\KK$\\
De plus, si $f$ admet $n$ racines distinctes $\alpha_{1},...,\alpha_{n}$, alors $\forall x \in \KK$, $f(x)=\lambda(x-\alpha_{1})...(x-\alpha_{n})$ où $\lambda \in \KK$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : si admet $k$ racines avec $k>n$, alors il existe $g$ fonction polynôme tq. $f(x)=(x-\alpha_{1})...(x-\alpha_{k})g(x)$. $\forall i \in \llbracket 0,k \rrbracket$, $(x-\alpha_{i})$ est de degré 1, donc $f(x)$ est de degré $k \geqslant n$ d'où la contradiction.\\
Si $f$ admet $n$ racines distinctes $\alpha_{1},...,\alpha_{n}$ alors il existe $g$ fonction polynôme tel que \\$\forall x \in \RR$, $f(x)=(x-\alpha)...(x-\alpha_{n})g(x)$ donc $deg(g)=0$, donc $g(x)=\lambda$, $\lambda \in \KK$
\end{preuve}

\section{Applications}

\section{Compléments}

\subsection{Polynômes-Fonctions polynômes}

Quelle est la différence entre un polynôme et une fonction polynôme ?

\begin{pluslong}[Définition :]{(polynôme)}
Soit $\KK$ un anneau commutatif unitaire. Un \textbf{polynôme} à une indéterminée à coefficients dans $\KK$ est une suite finie $(a_{n})_{n \in \NN}$ nulle à partir d'un certain rang (ex: $(a_{0},a_{1},...,a_{n},0,...,0,...)$ ), munie de la structure usuelle :
\begin{center}
\begin{itemize}
\item $(a_{i})+(b_{i})=(a_{i}+b_{i})$, $i=1...n$   
\item $\lambda(a_{i})=(\lambda a_{i})$, $i=1...n$
\end{itemize}
\end{center}
Les suites $e_{0}=(1,0,0,...)$, $e_{1}=(0,1,0,...)$, $e_{2}=(0,0,1,,0...)$,...,$e_{n}=(0,...,0,1,0,...)$ forment une base de $\KK$ : $(a_{n})_{n}=\displaystyle\sum_{n \geqslant 0}a_{n}e_{n}$\\ 
Or $e_{1}^{2}=(0,0,1,...)=e_{2}$, $e_{1}^{3}=(0,0,1,...)=e_{3}$,..,$e_{1}^{n}=(0,...,0,1,0...)=e_{n}$ et $e_{1}^{0}=e_{0}$ \\
Donc tout polynôme s'écrit : $(a_{n})_{n}=\displaystyle\sum_{n \geqslant 0}a_{n}e_{1}^{n}$, soit en posant $X=e_{1}$ :\\ \begin{center}
$\displaystyle (a_{n})_{n}=\sum_{n \geqslant 0}a_{n}X^{n}$
\end{center}
\end{pluslong}

\subsection{Une fonction bien pratique}

{\mathtitre2 $\Omega$} :
\begin{tabular}[t]{ccrlll}
$\KK \left[ X\right]$ & $\longrightarrow$ & $\mathcal{P}(\KK)$ & & &\\
P$=\displaystyle \sum_{n=0}^{N}a_{n}X^{n}$ & $\longmapsto$ & \~P$:$ & $\KK$ & $\longrightarrow$ & $\KK$ \\
 & & & $x$ & $\longmapsto$ & $\displaystyle \sum_{n=0}^{N}a_{n}x^{n}$\\
\end{tabular}
\\
$\Omega$ est clairement un homomorphisme surjectif, et : \\
\begin{center}
$\boxed{\Omega \quad\textsc{injective}\Longleftrightarrow \KK \quad\textsc{infini}}$ (1)
\end{center}

Ainsi, si $\KK$ est infini (ex : $\RR$ ou $\CC$), les polynômes seront identifiés aux fonctions polynômes.\\
(dans $\RR$ ou $\CC$, on écrira $f \in \mathcal{P}(\RR)$ ou $f \in \RR\left[ X \right]$ même si pas "vraiment" la même chose).\\
Contre exemple : $\ZZ/8\ZZ$ ($\Omega$ non injectif)

\begin{preuve} :\\
 -si $\KK$ est fini, $\KK=\{ x_{1},...,x_{q} \}$\\
P$(X)=(X-x_{1}).(X-x_{2})...(X-x_{q})=X^{q}+...$ donc P $\nequiv 0$ mais \~P$(x)=0$, $\forall x \in \KK$, donc $\Omega$(P)$=0 \nRightarrow$ P=0, donc $\KK$ fini $\Rightarrow$ $\Omega$ non injective.\\
-si $\KK$ infini, P $\in \KK\left[ X \right]$, $\forall x \in \KK$, \~P$(x)=0$ (infinité de racines dans $\KK$).\\
Or un polynôme de degré $\leqslant n$ admet au plus $n$ racines (sauf le polynôme nul) donc $\Omega$ est injective.
\end{preuve}

\begin{court}
\quad $\KK\left[ X \right]$ : ensemble des polynômes à une indéterminée\\
\quad $\mathcal{P}(\KK)$ ensemble des fonctions polynômes\\
Si $\KK$ corps, alors $\KK\left[ x \right]$ ev
\end{court}

\subsection{Importance de l'unicité de l'écriture polynomiale}

Si l'on ne montre pas l'uncité de l'écriture polynômiale, on ne peut pas parler de degré d'un polynôme (ie on raconte n'importe quoi !):\\
Soit $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}cos^{k}x+b_{k}sin^{k}x $ que l'on appellera polynôme trigonométrique\\
$cos^{4}-sin^{4}$ ``est de degré 4"\\
or $cos^{4}-sin^{4}=cos^{2}-sin^{2}$ donc ``est degré 2" d'où le problème ! \\
On ne peut pas définir le degré d'un polynôme trigonométrique, car il n'y a pas décomposition de l'écriture polynômiale.

\subsection{La convention $deg(0)=-\infty$}

Pourquoi prendre comme convention : $deg(0)=-\infty$ ? On connait les règles :\\
$deg(f+g)=max(deg(f),deg(g))$\\
$deg(f.g)=deg(f)+deg(g)$ pour tout $f,g$ non identiquement nulles\\
On peut étendre ces règles avec le polynôme nul avec la convention $deg(0)=-\infty$, en ajoutant deux ``règles"\\
\begin{center}
$-\infty + n=-\infty$ $\forall n$\\
$-\infty<0$
\end{center}

\subsection{Exercices et applications}

\subsubsection{Exercice 1}

Montrer qu'une fonction $T$-périodique admet une infinité de racines.\\
\\
$f(x+T)=f(x)$ donc $f(x+T)-f(x)=0$, donc si $\alpha$ racine de $f$, $f(\alpha +T)-f(\alpha)=f(\alpha+T)=0$ donc $\alpha +T$ solution, donc $f$ admet une infinité de racines : $\alpha+kT,k\in \ZZ$

\subsubsection{Exercice 2}

Montrer que $\mathcal{P}(\KK)$ anneau intègre\\
\\
Soient $f$, $g$ deux fonctions polynômes tq. $f.g=0$ $\Rightarrow deg(f.g)=-\infty$ or $deg(f.g)=deg(f)+deg(g)$\\
Donc ($deg(f)=-\infty$ et $deg(g)=0$) ou $(deg(g)=-\infty$ et $deg(f)=0)$ \\
donc $f\equiv 0$ ou $g\equiv 0$ donc $\mathcal{\KK}$ anneau intègre.

\subsubsection{Exercice 3}

Soit $f$ une fonction polynôme sur $\KK$ de coefficients $(a_{p})$.\\ 
Montrer que :\\
(i) $f$ est paire $\Leftrightarrow \forall p \in \NN$, $a_{2p+1}=0$\\
(ii) $f$ est impaire $\Leftrightarrow \forall p \in \NN$, $a_{2p}=0$\\
\\
(i) $f(x)=-f(x)\Leftrightarrow$ $\displaystyle \sum_{p=0}^{n}a_{p}x^{p}=\displaystyle \sum_{p=0}^{n}a_{p}(-x)^{p}$, $\forall x \in \KK$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle \sum_{p=0}^{n}(a_{p}-(-1)^{p}a_{p})x^{p}$ $\Leftrightarrow$ $a_{p}-(-1)^{p}a_{p}=0$, $\forall p \in \NN$ $\Leftrightarrow$ ($a_{2k}=a_{2k}$ et $a_{2k+1}=-a_{2k}$, $\forall k \in \NN)$ $\Leftrightarrow$ $a_{2k+1}=0$, $\forall k \in \NN$.\\
(ii) idem

\subsubsection{Exercice 4}

Soit $f$ une fonction polynôme sur $\CC$, de coefficients $(a_{p})$ tq. $\forall x \in \RR$, on ait $f(x)\in \RR$. Montrer que $\forall p$, $a_{p}\in \RR$.\\
\\
$\forall x \in \RR$, $f(x)=\overline{f(x)}$ $\Leftrightarrow$ $a_{0}+...+a_{n}x^{n}=\overline{a_{0}+...+a_{n}x^{n}}$, $\forall x \in \RR$ $\Leftrightarrow(a_{0}-\overline{a_{0}})+...+(a_{n}-\overline{a_{n}})x^{n}=0$, $\forall x \in \RR$\\
$\Leftrightarrow\forall p \in \NN$, $a_{p}-\overline{a_{p}}=2i.Im(a_{p})=0$ $\Leftrightarrow\forall p \in \NN$, $a_{p}\in \RR$

\subsubsection{Exercice 5}

Soit $p \in \NN^{*}$, $a \in \KK$. Montrer que $\forall x \in \KK$, $(x^{p}-a^{p})=(x-a).(x^{p-1}+...+a^{k}x^{p-1-k}+...+a^{p-1})$\\
\\
$(x-a).(x^{p-1}+...+a^{k}x^{p-1-k}+...+a^{p-1})$ $=x^{p}+ax^{p-1}+a^{2}x^{p-2}+...+a^{p-2}x^{2}+a^{p-1}x$\\ $-ax^{p-1}-a^{2}x^{p-2}-...-a^{p-1}x-a^{p}=x^{p}-a^{p}$

\subsubsection{Exercice 6}

Montrer que la fonction $f$ : 
\begin{tabular}[t]{rlc}
$\RR_{+}^{*}$ & $\to$ & $\RR$ \\
$x$ & $\mapsto$ & $\quad^{3}\sqrt{x}$\\
\end{tabular}
n'est pas une fonction polynôme.\\
\\
On raisonne par l'absurde : si $f$ est une fonction polynôme, comme $f\nequiv 0$, $deg(f)\geqslant 1$\\
or $((\sqrt{x})^{\frac{1}{3}})^{3}=x$ donc $deg(x)=1=deg((\sqrt{x}^{\frac{1}{3}})^{3})$=$3.deg(\sqrt{x}^{\frac{1}{3}})\geqslant 3$ contradiction\\
Donc $f$ n'est pas une fonction polynôme.

\subsubsection{Exercice 7}

Montrer que les éléments inversibles de l'anneau $\mathcal{P}(\KK)$ sont les fonctions constantes nons nulles.\\
\\
Soit $f$ inversible d'inverse $g$, $f\nequiv 0$ (car $f$ inversible).\\
On a : $f.g=Id$ ie $f.g(x)=1$ ($1$ étant le polynôme unité pour la loi ``.'') donc $deg(f)+deg(g)=0$.\\
Or $deg(f)\geqslant 0$ et $deg(g)\geqslant 0$ (par hypothèse), donc $deg(f)=deg(g)=0$ donc $f$ est une fonction constante non nulle.

\subsection{Autres démonstrations de la propriété fondamentale}

Il est possible de démontrer la propriété fondamentale d'autres façons, mais on a besoin de la dérivabilité de la fonction polynôme ou de sa continuité (propriétés que l'on voit plsu tard dans la leçon). 

\subsubsection{Par la dérivabilité}

Soit $\forall x \in \KK$, $f(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$. Or $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$, donc :
\begin{center}
$\left\{ \begin{array}{lllll}
f(0)=0$ $\Rightarrow$ $a_{0}=0 & \\
f'(0)=0$ $\Rightarrow$ $a_{1}=0 & \\
...& \\
f^{k}(0)=0$ $\Rightarrow$ $a_{k}=0 &\\
...& 
\end{array} \right.$
\end{center} 
Donc $a_{0}=...=a_{n}=0$\qed

\subsubsection{Par la continuité}

Soit $\forall x \in \KK$, $f(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$. On a :$f(0)=0 \Rightarrow a_{0}=0$\\
Donc $f(x)=a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0$ donc pour $x\neq 0$, $a_{1}+...+a_{n}x^{n-1}=0$\\
Soit $g(x)=a_{1}x+...+a_{n}x^{n-1}$ (que l'on définie si $x\neq 0$); $g$ est continue en $0$ (quitte à la prolonger par continuité en 0), donc :\\
$$0=\lim_{x \to 0}g(x)=g(0)=a_{1}$$
Donc $a_{1}=0$. On refait le même raisonnement, et par suite : $a_{0}=...=a_{n}=0$\qed

\subsection{preuve}

\begin{moyen2}[Proposition] : Soit $n$ un entier, soit $f$ une fonction polynôme de degré $n$, $\forall k\in \llbracket 0,n \rrbracket$, $f_{k}$ est une fonction polynôme de degré $k$. Alors il existe un unique $(n+1)-\KK$ uplets $(a_{0},...,a_{n})$ tq. $f=a_{0}f_{0}+...+a_{n}f_{n}$ avec $a_{n}\neq 0$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on va montrer que $\{ f_{0},...,f_{n} \}$ est une base de $\KK_{n}\left[ X \right]$ (ev : ensemble des fcts. polynômes de degrés inférieurs ou égauxs à $n+1$)\\
Soit $(\alpha_{0},...,\alpha_{n}) \in \KK^{n+1}$ tq. $\alpha_{0}f_{0}+...+\alpha_{n}f_{n}=0$\\
On a donc $-\alpha_{n}f_{n}=\alpha_{0}f_{0}+...+\alpha_{n-1}f_{n-1}$\\
si $\alpha_{n}\neq 0$, alors $-\alpha_{n}f_{n}$ est un polynôme de degré $n$ et $\alpha_{0}f_{0}+...+\alpha_{n-1}f_{n-1}$ est un polynôme de degré degré inférieur ou égal à $n-1$, ce qui est absurde, donc $\alpha_{n}=0$. Par suite, $\alpha_{0}=...=\alpha_{n}=0$\\
Donc $\{ f_{0},...,f_{n} \}$ est une famille libre de $\KK_{n}\left[ X \right]$; or $dim(\KK_{n})\left[ X \right])=n$, donc $\{ f_{0},...,f_{n} \}$ est une base de $\KK_{n}\left[ X \right]$
\end{preuve}

\end{document}