\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
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%\usepackage{marvosym}
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
\setmarginsrb{2,5cm}{0,5cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt}
%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
\date{}
%
\title{Exposé 59 : Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.}
%pour la date en français
%\def\today{\ifnum\day=1\relax 1\raisebox{.6ex}{\small er}
%\else \number\day\fi
%\space\ifcase\month\or janvier\or février\or mars\or avril\or mai\or juin\or juillet\or août\or septembre\or %octobre\or novembre\or décembre\fi\space\number\year}  
% guillemets ouvrant \og  fermant \fg
%
\newenvironment{pluslong}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}%
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%
%
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%
\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\textbf{Prérequis}\footnotemark[1] :\\
-Suite réelle, suite convergente\\
-Limites de fonctions
\footnotetext[1]{Exposé fortement inspiré de celui de Johann. Tapé par Gwendal Haudebourg, réalisé avec \LaTeX. Mis à jour le 17/04/2006}
%
\\
\begin{small}
Niveau : programme complémentaire. 
\end{small}

\section{Suites divergentes}

\begin{moyen2}[Définition] : la suite $(u_{n})_{n}$ est divergente dans $\RR$ si elle ne converge pas vers un nombre réel, ie : $\forall l \in \RR$, $\exists \varepsilon>0$, $\forall N\in\NN$, $\exists n\geqslant N$, tq. $\vert u_{n}-l \vert <\varepsilon$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[remarque] : (i) une suite non bornée diverge (ex : $((-1)^{n}.n))_{n}$ diverge).\\
(ii) toute suite admettant deux suites extraites ne convergeant pas vers la même limite diverge (ex : $((-1)^{n})_{n}$ diverge car $u_{2n}=1$ et $u_{2n+1}=-1$ $\forall n\in\NN$)

\end{moyen2}

\section{Suites divergentes vers l'infini}

\subsection{Définitions et propriétés}

\begin{moyen2}[Définition] : on dit que $(u_{n})_{n}$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $\forall A\in\RR$, $\exists N\in\NN$, $n\geqslant N$ $\Rightarrow$ $u_{n}\geqslant A$ (resp. $\forall A\in\RR$, $\exists N\in\NN$, $n\geqslant N$ $\Rightarrow$ $u_{n}\leqslant A$) 
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[remarque] : divergentes car non bornées d'après cette définition.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Notation] : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition] : (i) toute suite divergeant vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) est minorée et non majorée (resp. majorée et non minorée).\\
(ii) si $(u_{n})_{n}$ diverge vers l'infini, alors $(\vert u_{n}\vert)_{n}$ diverge vers $+\infty$\\ 
(iii) toute suite extraite d'une suite divergeant vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) est divergente vers $+\infty$ (resp. $-\infty$).
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on passe à la définition...
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Proposition] : si $(u_{n})_{n}$ croissante (resp. décroissante), alors : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty$ $\Longleftrightarrow$ $(u_{n})_{n}$ non majorée\\
(resp. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=-\infty$ $\Longleftrightarrow$ $(u_{n})_{n}$ non minorée)
\end{moyen2}

\begin{preuve} : "$\Rightarrow$" évident\\
"$\Leftarrow$" on suppose que $(u_{n})_{n}$ non majorée. Alors $\forall A>0$, $\exists N\in\NN$ tq. $u_{N}>A$\\
La croissance de $(u_{n})_{n}$ donne $\forall n>N$, $u_{n}>A$ ie $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty$
\end{preuve}

\subsection{Opérations algébriques}

\subsubsection{Somme}

\begin{moyen2}[Proposition] : (i) si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty$ et $(v_{n})_{n}$ minorée, alors $(u_{n}+v_{n})_{n}\longrightarrow +\infty$\\
(ii) si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=-\infty$ et $(v_{n})_{n}$ majorée, alors $(u_{n}+v_{n})_{n}\longrightarrow -\infty$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (i) soit $m$ un minorant de $v_{n}$. Soit $A\in \RR$, $\exists N\in \NN$ tq. $n\geqslant N$ $\Rightarrow$ $u_{n}\geqslant A-m$, donc $\forall n\geqslant N$ $\Rightarrow$ $u_{n}+v_{n}\geqslant A$ ie $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(u_{n}+v_{n})=+\infty$
\end{preuve}

Récapitulatif : ~$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n} & \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_{n} & \displaystyle\lim_{n \to +\infty}(u_{n}+v_{n}) \\
\hline
l \in \RR& +\infty & +\infty \\
\hline
l \in \RR& -\infty & -\infty \\
\hline
+\infty & +\infty & +\infty \\
\hline
-\infty & -\infty & -\infty \\
\hline
-\infty & +\infty & ? \\
\hline
\end{array}$



\begin{moyen2}[Exemples] : (i) $u_{n}=n$, $v_{n}=n$ alors $u_{n}+v_{n}\longrightarrow 0$\\
(ii) $u_{n}=n$, $v_{n}=-3n$ alors $u_{n}+v_{n}=-2n \longrightarrow -\infty$
\end{moyen2}

\subsubsection{Produit}

\begin{moyen2}[Proposition] : soit $(u_{n})_{n}$ une suite de réels, et $\lambda\in\RR^{*}$.\\
Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\lambda u_{n}=$ $\left\{ \begin{array}{ll}
+\infty & \textrm{si}  ~\lambda>0\\
-\infty & \textrm{si} ~\lambda<0
\end{array} \right.$\\
Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=-\infty$ alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=\lambda u_{n}=$ $\left\{ \begin{array}{ll}
-\infty & \textrm{si}  ~\lambda<0\\
+\infty & \textrm{si} ~\lambda>0
\end{array} \right.$\\
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on applique la définition.
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Proposition] : (i) si $u_{n}\rightarrow +\infty$ (resp. $u_{n}\rightarrow -\infty$) et si $(v_{n})_{n}$ est minorée par un réel strictement positif, alors $u_{n}.v_{n}\rightarrow +\infty$ (resp. $u_{n}.v_{n}\rightarrow -\infty$)\\
(ii) si $u_{n}\rightarrow +\infty$ (resp. $u_{n}\rightarrow -\infty$) et si $(v_{n})_{n}$ est majorée par un réel strictement négatif, alors $u_{n}.v_{n}\rightarrow -\infty$ (resp. $u_{n}.v_{n}\rightarrow +\infty$)\\
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (i) $m>0$ minorant de $(v_{n})_{n}$. Soit $A\in\RR$, $\exists N\in\NN$ tq. $\forall n\geqslant N$ $\Rightarrow$ $u_{n}>\dfrac{A}{m}$ $\Rightarrow$ $u_{n}.v_{n}> \dfrac{A}{m}.v_{n}>\dfrac{A}{m}.m>A$, ie $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n}.v_{n}=+\infty$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[remarque] : le résultat est faux si $(v_{n})_{n}$ minorée par $0$ (ou majorée). Il faut bien \textit{strictement} positif (ou \textit{strictement} négatif)\\
ex : $\left\{ \begin{array}{l}
 u_{n}=\sqrt{n} \\
 v_{n}=\dfrac{1}{n}
\end{array} \right.$ donc $u_{n}.v_{n}\rightarrow 0$\\
\end{moyen2}

Récapitulatif : ~$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
u_{n} \diagdown v_{n} & +\infty & l>0 & l<0 & 0 \\
\hline
+\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? \\
\hline
-\infty & -\infty & -\infty & +\infty & ?  \\
\hline
\end{array}$

\subsubsection{Inverse}

\begin{moyen2}[Proposition] : soit $(u_{n})_{n}$ une suite de réels non nuls. Alors $(\dfrac{1}{n})_{n}$ a pour limite : \begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
u_{n} & +\infty & -\infty & 0^{+} & 0^{-} \\
\hline
\frac{1}{u_{n}} & 0 & 0 & +\infty & -\infty \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\end{moyen2}

\subsubsection{Comparaison}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $(u_{n})_{n}$ et $(v_{n})_{n}$ deux suites telles que à partir d'un certain rang, $u_{n}\leqslant v_{n}$, alors :\\
(i) si $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n}=+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_{n}=+\infty$\\
(ii) si $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_{n}=-\infty$ alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n}=-\infty$
\end{moyen2}

exemple : $u_{n}=3n+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\geqslant v_{n}=3n$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}=+\infty$ 

\subsubsection{Composition par une application}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $f$ une application définie sur $I$, un intervalle de $\RR$ de la forme $]A,+\infty[$ (resp. $]-\infty,A[$) et $(u_{n})_{n}$ une suite de $I$ tq. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty$ (resp. $-\infty$). Si $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ (resp. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=l$) où $l\in I\cup \lbrace -\infty,+\infty\rbrace$, alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}f(u_{n})=l$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (i) $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n}=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ avec $l\in\RR$. Soit $\varepsilon>0$, $\exists A>0$ tq. $\forall x>A$, $\vert f(x)-l \vert <\varepsilon$. De plus $\exists N\in\NN$ tq. $\forall n\geqslant N$, $u_{n}>A$ ie $\exists N\in\NN$ tq. $\vert f(u_{n})-l \vert<\varepsilon$ ie $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x)=l$\\
(ii) si $l=+\infty$. Soit $A>0$, $\exists B>0$ tq. $\forall x>B$, $f(x)>A$. De plus $\exists N\in\NN$ tq. $\forall n\geqslant N$, $u_{n}>B$, donc $\forall n\geqslant N$, $f(u_{n})>A$.
\end{preuve}

\section{Compléments}

\begin{moyen2}[Proposition] : (i) toute suite divergeant vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) est minorée et non majorée (resp. majorée et non minorée).\\
(ii) si $(u_{n})_{n}$ diverge vers l'infini, alors $(\vert u_{n}\vert)_{n}$ diverge vers $+\infty$\\ 
(iii) toute suite extraite d'une suite divergeant vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) est divergente vers $+\infty$ (resp. $-\infty$).
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (i) $\forall A\in\RR$, $\exists N\in\RR$, $n\geqslant N$ $\Rightarrow u_{n}\geqslant A$. Soit $A \in\RR$, $\exists N\in\NN$, $\forall n\geqslant N\Rightarrow u_{n}\geqslant A$, donc $u_{n}$ minorée par $min(A,B)$ où $B=inf(u_{n},n=0...N-1)$\\
(ii) déf. car $\vert u_{n} \vert>u_{n}\geqslant A$\\
(iii) soit $\varphi:\NN\rightarrow \NN$ strictement croissante. Soit $A\in\RR$, $\exists N\in\NN$, $n\geqslant N\Rightarrow u_{n}\geqslant A$\\
$\varphi$ strictement croissante donc $\exists n_{k}\in\NN$ tq. $\varphi(n_{k})\geqslant N$, donc $\forall n\in\NN$, $n\geqslant n_{k}$ $\Rightarrow$ $u_{\varphi(n)}\geqslant A$ (car $\varphi(n)\geqslant \varphi(n_{k})\geqslant N$
\end{preuve}

\begin{preuve2}{(Proposition)} : on suppose $u_{n}\rightarrow +\infty$ ie $\forall A>0$, $\exists N\in\NN$ tq. $n>N$, $u_{n}\geqslant A>0$\\
ie $\forall A>0$, $\exists N\in\NN$ tq. $n>N$, $\dfrac{1}{u_{n}}\leqslant A$, ie $\dfrac{1}{u_{n}}\rightarrow 0$\\
Même chose si $u_{n}\rightarrow 0^{+}$ ie $\forall A>0$, $\exists N\in\NN$ tq. $n>N$, $\leqslant u_{n}<A$, donc $\dfrac{1}{u_{n}}>\dfrac{1}{A}$
\end{preuve2}


\end{document}