\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
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%\usepackage{marvosym}
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
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%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
\date{}
%
\title{Exposé 57 : Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles.}
%pour la date en français
%\def\today{\ifnum\day=1\relax 1\raisebox{.6ex}{\small er}
%\else \number\day\fi
%\space\ifcase\month\or janvier\or février\or mars\or avril\or mai\or juin\or juillet\or août\or septembre\or %octobre\or novembre\or décembre\fi\space\number\year}  
% guillemets ouvrant \og  fermant \fg
%
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%
\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\textbf{Prérequis}\footnotemark[1] :\\
-Inégalité triangulaire\\
-Axiome de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de $\RR$ admet une borne supérieure\\
-Notion de suites majorées, bornées, croissantes, décroissantes...\\
-Continuité
\footnotetext[1]{Exposé fortement inspiré de celui de Johann. Tapé par Gwendal, réalisé avec \LaTeX. Mise à jour le 02/06/2007}
%
\\
\begin{small}
\underline{Cadre} : nous considérons des suites réelles dans les énoncés suivants. Ces énoncés sont encore valable pour des suites définies à partir d'un certain rang.\\
\underline{Rappel} : suite réelle : $u$:
\begin{tabular}[t]{ccc}
$\mathcal{P}\subset \NN$ & $\to$ & $\RR$ \\
$n$ & $\mapsto$ & $u(n)=:u_{n}$\\
\end{tabular} à partir d'un certain rang $N_{0}$ : $u$:
\begin{tabular}[t]{ccc}
$\lbrace n\in \NN,n\geqslant N_{0}\rbrace$ & $\to$ & $\RR$ \\
$n$ & $\mapsto$ & $u_{n}$\\
\end{tabular}\\
Niveau : programme complémentaire. 
\end{small}

\section{Suites convergentes}

\subsection{Définitions}

\begin{moyen2}[Définition] : une suite réelle $(u_{n})_{n}$ est dite convergente s'il existe $l \in \RR$ tq. $\forall \varepsilon$, $\exists N\in \NN$, $\forall n>N$, $\vert u_{n}-l \vert < \varepsilon$ (1)
\end{moyen2}

\begin{pluslong2}[Proposition]{(unicité de la limite)} : si $(u_{n})_{n}$ est une suite convergente, alors il existe un unique réel $l$ qui satisfait (1).
\end{pluslong2}

\begin{preuve} : on suppose que $(u_{n})_{n}$ converge, et $l,l'$ satisfaisants (1) avec $l\neq l'$. Alors : \\
\begin{center}
$\forall \varepsilon$, $\exists N_{1}\in \NN$, $\forall n>N_{1}$, $\vert u_{n}-l \vert < \varepsilon$\\
$\forall \varepsilon$, $\exists N_{2}\in \NN$, $\forall n>N_{2}$, $\vert u_{n}-l' \vert < \varepsilon$
\end{center}
Soit $N=max(N_{1},N_{2})$. Alors  $\forall n>N$, $\vert l-l' \vert \leqslant \vert u_{n}-l \vert$+$\vert u_{n}-l' \vert$. Donc $\forall \varepsilon$, $\vert l-l' \vert < 2.\varepsilon$ (contradiction, en posant $\varepsilon=\dfrac{\vert l-l' \vert}{4}$ par exemple).
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Notation] : si un tel nombre $l$ existe, on note $l=\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_{n}$ et on dit que $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, que $l$ est la limite de $(u_{n})_{n}$ (et que $(u_{n})_{n}$ admet une limite $l$).
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[exemples] :
\begin{itemize}
\item les suites stationnaires convergent
\item $(\dfrac{1}{n})_{n\in\NN^{*}}$ converge vers $0$ 
\end{itemize}
\end{moyen2}

\subsection{Propriétés}

\begin{moyen2}[Proposition 1] : toute suite convergente est bornée.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 2] : si $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, alors $(\vert u_{n} \vert)_{n}$ converge vers $\vert l \vert$ (la réciproque est vraie sisi $l=0$).
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Remarque] : la réciproque de la prop. 1 est fausse (exemple : $(-1)^{n}$ bornée mais non convergente). 
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Définition] : soit $(u_{n})_{n}$ une suite. On dit que $(v_{n})_{n}$ est une suite extraite de $(u_{n})_{n}$ s'il existe $\varphi$:
\begin{tabular}[t]{rlc}
$\NN$ & $\to$ & $\NN$ \\
$n$ & $\mapsto$ & $\varphi(n)$\\
\end{tabular} strictement croissante, telle que $\forall n \in \NN$, $v_{n}=u_{\varphi(n)}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Exemple] : $(u_{2n})_{n}$ et $(u_{2n+1})_{n}$ sont des suites extraites de $(u_{n})_{n}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 3] : $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$ $\Longleftrightarrow$ toute suite extraite de $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Remarque] : cela fournit un critère de non convergence pour certaines suites. Exemple : $u_{n}=(-1)^{n}$ ne converge pas, car $u_{2n}=1$ et $u_{2n+1}=-1$, $\forall n \in \NN$ (donc convergent vers 1 et -1 respectivement).
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 4] : si $(u_{n})_{n}$ est une suite croissante et majorée, alors elle converge (respectivement une suite décroissante et minorée converge).
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[exemple] : $u_{n}$=$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : supposons que $(u_{n})_{n}$ soit croissante et majorée. Soit $A=\lbrace u_{n}, n\in\NN \rbrace$. $A$ est une partie non vide et majorée de \RR. On pose $l=sup A$. Par définition de la borne supérieure, on a donc : $\forall \varepsilon>0$, $\exists N\in\NN$ tel que $u_{N}\in A$ et $l-\varepsilon<u_{N}\leqslant l<l+\varepsilon$. Or $(u_{n})_{n}$ croissante, donc $\forall n \geqslant N$, $l-\varepsilon<u_{N}\leqslant u_{n}\leqslant l<l+\varepsilon$ \\ie $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$.
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Définition] : on dit que $(u_{n})_{n}$ et $(v_{n})_{n}$ sont deux suites adjacentes si : \begin{itemize}
\item $(u_{n})_{n}$ croissante
\item $(v_{n})_{n}$ décroissante
\item $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(v_{n}-u_{n})=0$
\end{itemize}
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 5] : deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Exemple] : $u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}$ et $v_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n.n!}$
\end{moyen2}

\section{Opérations algébriques}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $k\in \RR$, $(u_{n})_{n}$ qui converge vers $l$ et $(v_{n})_{n}$ qui converge vers $l'$. Alors : 
\begin{enumerate}
\item $(u_{n}+v_{n})_{n}$ converge vers $l+l'$
\item $(u_{n}.v_{n})_{n}$ converge vers $l.l'$
\item $(k.u_{n})_{n}$ converge vers $k.l$
\item si $l \neq 0$, alors $\exists N \in \NN$ tq. $\forall n>N$, $u_{n}\neq 0$, et alors $\frac{1}{u_{n}}$ converge vers $\frac{1}{l}$ et $\dfrac{v_{n}}{u_{n}}$ converge vers $\frac{l'}{l}$
\end{enumerate}
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (1) et (3) évidents.\\
(2) soit $\varepsilon>0$, $\vert u_{n}.v_{n}-l.l' \vert$=$\vert (u_{n}-l).v_{n}+l.(v_{n}-l') \vert$ $\leqslant \vert u_{n}-l \vert .\vert v_{n}\vert+\vert l \vert.\vert v_{n}-l' \vert$\\
Or $(v_{n})_{n}$ converge donc $(v_{n})_{n}$ bornée, et $\exists M>0$, $\exists N\in\NN$, tq. $\forall n>N$, $\vert v_{n} \vert <M$. De plus $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, donc en posant $\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{M}$ : $\exists N_{1}$, $\forall n>N_{1}$, $\vert u_{n}-l \vert < \varepsilon'$. De même, $(v_{n})_{n}$ converge vers $l'$, donc en posant $\varepsilon''=\dfrac{\varepsilon}{l}$ : $\exists N_{2}$, $\forall n>N_{2}$, $\vert v_{n}-l' \vert < \varepsilon''$.\\
Donc $\forall n>max(N,N_{1},N_{2})$, $\vert u_{n}.v_{n}-l.l' \vert \leqslant \varepsilon'.M+\vert l \vert.\varepsilon''=2\varepsilon$\\
(4) $|\dfrac{1}{v_{n}}-\dfrac{1}{l} |$=$\vert \dfrac{l-v_{n}}{l.v_{n}} \vert$=$\dfrac{\vert v_{n}-l \vert}{l.\vert v_{n} \vert}$. Or $(v_{n})_{n}$ bornée, donc $\exists M>0$, $\exists N\in\NN$, tq. $\forall n>N$, $\vert v_{n} \vert <M$, et $(v_{n})_{n}$ converge vers $l$, donc en posant $\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{\vert l \vert . M}$, on a $\dfrac{\vert l-v_{n} \vert}{\vert l \vert . \vert v_{n} \vert} <\varepsilon'$
\end{preuve}

\section{Composition avec une application continue}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $A\subset \RR$, $f$:
\begin{tabular}[t]{rlc}
$A$ & $\to$ & $\RR$ \\
\end{tabular} et $(u_{n})_{n}$ une suite d'éléments de $A$. Si $\displaystyle\lim_{n \to \infty}u_{n}=l$, $l\in A$, et si $f$ continue en $l$, alors $(f(u_{n}))_{n}$ converge vers $f(l)$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : soit $\varepsilon>0$, alors par continuité de $f$ en $l$, $\exists \eta>0$ tq. $\forall x \in A$, $\vert x-l \vert<\eta$ $\Rightarrow$ $\vert f(x)-f(l) \vert<\varepsilon$. Or $\exists N$ tq. $\forall n>N$, $\vert u_{n}-l \vert <\eta$ ie $\vert f(u_{n})-f(l) \vert <\varepsilon$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Remarques] :\\
-ce résultat sert dans l'étude des suites définies par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=f(u_{n})$
-la condition de continuité en $l$ suffit, il n'est pas nécessaire de prendre $f$ continue sur $A$ tout entier
\end{moyen2}

\section{Comparaison de suites entres elles}

Soient trois suites $(u_{n})_{n}$, $(v_{n})_{n}$ et $(w_{n})_{n}$

\begin{moyen2}[Théorème] : si $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, $(v_{n})_{n}$ vers $l'$, et s'il existe $N \in \NN$ tq. $\forall n>N,u_{n}\leqslant v_{n}$, alors $l\leqslant l'$
\end{moyen2}

\begin{pluslong2}[Théorème]{(des gendarmes)} : si $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, et $(w_{n})_{n}$ vers $l$, et si $\exists N\in\NN$ tq. $\forall n>\NN$, $u_{n}\leqslant v_{n} \leqslant w_{n}$, alors $(v_{n})_{n}$ converge vers $l$.
\end{pluslong2}

\begin{moyen2}[exemple] : $u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k^{2}}$
 
\end{moyen2}


\begin{moyen2}[Corollaire] : si $\displaystyle\lim_{n \to \infty}v_{n}=0$ et si $\exists N \in \NN$ tq. $\forall n>\NN$, $\vert u_{n}-l \vert \leqslant v_{n}$ alors $\displaystyle\lim_{n \to \infty}v_{n}=0$
\end{moyen2}

\section{Compléments}

\subsection{Preuves}

\textsc{Prop.1} : \textbf{Toute suite convergente est bornée}

\begin{preuve2}{(Prop.1)} : $\forall \varepsilon>0$, $\exists N\in \NN$, $n>N$, $\vert u_{n}-l \vert <\varepsilon$. Soit $\varepsilon>0$, $\exists N\in\NN$, $n>N$, $l-\varepsilon<u_{n}<l+\varepsilon$, et pour $n<N$, $min_{k=0...n}(u_{k})\leqslant u_{n} \leqslant max_{k=0...n}(u_{k})$
\end{preuve2}

\textsc{Prop.2} : \textbf{si $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, alors $(\vert u_{n} \vert)_{n}$ converge vers $\vert l \vert$ }

\begin{preuve2}{(Prop.2)} : $\vert \vert u_{n}\vert-\vert l \vert \vert$ $\leqslant$ $\vert u_{n}-l \vert$ (après on applique la définition de la convergence à $(u_{n})_{n}$)
\end{preuve2}

\textsc{Prop.3} : \textbf{$(u_{n})_{n}$ converge vers $l$ sisi toute suite extraite de $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$}

\begin{preuve2}{(Prop.3)} : on a : $\forall \varepsilon>0$, $\exists N$ tq. $\forall n>N$, $\vert u_{n}-l \vert <\varepsilon$. Soit $\varphi$:
\begin{tabular}[t]{rlc}
$\NN$ & $\to$ & $\NN$ \\
\end{tabular} strictement croissante. Donc $\exists n_{k}$ tq. $\varphi(n_{k})>N$, donc $\forall n>N$, $\varphi(n)>\varphi(n_{k})>N$ d'où $\vert u_{\varphi(n)}-l \vert <\varepsilon$ 
\end{preuve2}

\textsc{Prop.5} : \textbf{Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite}

\begin{preuve2}{(Prop.5)} : on montre d'abord le Lemme : si $(u_{n})_{n}$ et $(v_{n})_{n}$ sont adjacentes, alors $u_{n}\leqslant v_{n}$, $\forall n\in\NN$.\\
$v_{n+1}-u_{n+1}=(v_{n+1}-v_{n})+(v_{n}-u_{n})+(u_{n}-u_{n+1})$ or $(v_{n+1}-v_{n})\leqslant 0$ car $(v_{n})_{n}$ décroissante; de même $(u_{n}-u_{n+1})\leqslant 0$. Donc $v_{n+1}-u_{n+1}\leqslant v_{n}-u_{n}$ donc la suite $(v_{n}-u_{n})_{n}$ est décroissante qui tend vers $0$, ie $(v_{n}-u_{n})\geqslant 0$, $\forall n \in \NN$\\
De plus, $(u_{n})_{n}$ est croissante et majorée par $v_{0}$, $(v_{n})_{n}$ est décroissante et minorée par $u_{0}$ (Lemme), donc $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, $(v_{n})_{n}$ converge vers $l'$. Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(v_{n}-u_{n})=0$ ie $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_{n}-\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=0$, ie $l=l'$
\end{preuve2}

\begin{moyen2}[Théorème] : si $(u_{n})_{n}$ converge vers $l$, $(v_{n})_{n}$ vers $l'$, et s'il existe $N \in \NN$ tq. $\forall n>N,u_{n}\leqslant v_{n}$, alors $l\leqslant l'$
\end{moyen2}

\begin{preuve2}{(Théorème)} : par l'absurde, on pose $w_{n}=v_{n}-u_{n}$. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}w_{n}=l-l'$, et $\forall n\geqslant N_{1}$, $w_{n}\geqslant 0$. On suppose que $l'-l<0$. $\exists N_{2}\in\NN$ tq. $n>N_{2}$, $w_{n}-(l'-l)\leqslant\dfrac{l-l'}{2}$ (en posant $\varepsilon=\dfrac{l-l'}{2}$).\\
Soit $N=max(N_{1},N_{2})$. $\forall n\geqslant N$, $0\leqslant w_{n} \leqslant \dfrac{l'-l}{2}<0$ (contradiction). Donc $l'-l\geqslant 0$
\end{preuve2}

\begin{preuve2}{(Th. des gendarmes)} : soit $\varepsilon>0$. $\forall n\geqslant N$, $u_{n}-l\leqslant v_{n}-l \leqslant w_{n}-l$. $\exists N_{1}$, $n>N_{1}$, $-\varepsilon \leqslant u_{n}-l \leqslant \varepsilon$; $\exists N_{2}$, $n>N_{2}$, $-\varepsilon \leqslant w_{n}-l \leqslant \varepsilon$. On pose $N'=max(N,N_{1},N_{2})$, $-\varepsilon \leqslant v_{n}-l \leqslant \varepsilon$
\end{preuve2}

\subsection{Exercices}

\subsubsection{Exercice 1 : montrer que $(\dfrac{1}{n})_{n\in\NN^{*}}$ converge vers $0$.}

$(\dfrac{1}{n})_{n\in\NN^{*}}$ converge vers $0$ $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon>0$, $\exists N\in\NN$ tq. $\forall n>N$, $\vert \dfrac{1}{n} \vert <\varepsilon$.\\
Soit $\varepsilon>0$. En posant $N=E(\dfrac{1}{\varepsilon})+1$, pour $n>N$, on a $\vert \dfrac{1}{n} \vert <\dfrac{1}{E(\dfrac{1}{\varepsilon})+1}<\dfrac{1}{\dfrac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$, ce que l'on voulait.

\subsubsection{Exercice 2 : montrez que $u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}$ et $v_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n.n!}$ sont adjacentes.}

La suite $(u_{n})_{n}$ est clairement croissante, et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(v_{n}-u_{n})$=$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n.n!}=0$\\
$v_{n+1}-v_{n}$=$u_{n+1}-u_{n}$+$\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}$-$\dfrac{1}{n.n!}$=$\dfrac{1}{(n+1)!}$+$\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}-\dfrac{1}{n.n!}$\\=$\dfrac{n(n+1)+n-(n+1)^{2}}{n(n+1)(n+1)!}$=$\dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!}<0$, donc $(v_{n})_{n}$ est décroissante.

\subsubsection{Exercice 3 : montrer que $(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}})_{n}$ converge.}

$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\geqslant 0$ donc $(u_{n})_{n}$ est croissante.\\
$k\in\NN^{+}$, $k^{2}=k(k-1)+k$, donc $k^{2}$ $\geqslant$ $k(k-1)$, donc $\dfrac{1}{k^{2}}\leqslant \dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$\\
$\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}\leqslant\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k}\leqslant 1-\dfrac{1}{n}$, donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}\leqslant2-\dfrac{1}{n}\leqslant 2$, donc $(u_{n})_{n}$ est majorée par $2$, donc cv.

\subsubsection{Exercice 4 : montrer que $(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k^{2}})_{n}$ converge vers $0$.}

$\forall k\geqslant 1$, $0\leqslant \dfrac{1}{n^{2}+k^{2}} \leqslant \dfrac{1}{n^{2}+1}$, donc $0\leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k^{2}} \leqslant \dfrac{n}{n^{2}+1}<\dfrac{1}{n}$\\
Donc par le théorème des gendarmes, $(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k^{2}})_{n}$ converge vers $0$.

\subsubsection{Exercice 5 : montrer que $u_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+\dfrac{k}{n^{2}})$ converge.}

$\ln u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln (1+\dfrac{k}{n^{2}})$. On montre facilement que $x-\dfrac{x^{2}}{2}\leqslant \ln (1+x) \leqslant x$.\\
En posant $x=\dfrac{k}{n^{2}}$, et en sommant : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^{2}}-\dfrac{1}{2}.(\dfrac{k}{n^{2}})^{2}\leqslant \sum_{k=1}^{n}\ln (1+\dfrac{k}{n^{2}}) \leqslant \sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^{2}}$\\
Or $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^{2}}=n^{2}.(\dfrac{n(n+1)}{2})=\dfrac{n(n+1)}{2n^{2}}$ $\longrightarrow\dfrac{1}{2}$, et $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\dfrac{k}{n^{2}})^{2}=-\dfrac{1}{2n^{4}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}$ et $0\leqslant \dfrac{1}{n^{4}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}\leqslant \dfrac{1}{n^{2}}$\\
Donc $-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\dfrac{k}{n^{2}})^{2}$ $\longrightarrow 0$, donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln (1+\dfrac{k}{n^{2}})$ $\longrightarrow$ $\dfrac{1}{2}$, d'où $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n}=e^{\frac{1}{2}}$

\end{document}