\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
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%\usepackage{marvosym}
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
\setmarginsrb{2,5cm}{0,5cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt}
%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
%
\date{}
%
\title{Exposé 48 : Ellipses déduites d'un cercle par affinité orthogonale. Applications.}
%\author{Gwendal}
%
\newenvironment{pluslong}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
%
\newenvironment{pluslong2}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2} \textup}%
{\end{flushleft} }
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\newenvironment{moyen}[1][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1\\} \textup}%
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\newenvironment{moyen2}[1][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textup}%
{\end{flushleft} }
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\newenvironment{court}%
{\begin{flushleft} \textup}%
{\end{flushleft} }
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\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\textbf{Prérequis}\footnotemark[1] :\\
-Définition et propriétés des projections et symétries\\
-Définition et propriétés des applications affines\\
-Définition des cercles et ellipses par équations réduites
\footnotetext[1]{L'exposé a été présenté à Bordeaux(4) en 2005 par Armelle, corrigé par M.P., tapé par Gwendal Haudebourg. Réalisé avec \LaTeX, et Inkscape pour les dessins. Mise à jour le 20/03/2006}

\begin{moyen2}[Cadre de l'exposé :]
Soit $\mathcal{E}$ plan affine euclidien, $\overrightarrow{\mathcal{E}}$ espace vectoriel associé.
\end{moyen2}

\section{Rappel sur les affinités orthogonales}

\begin{moyen2}[Définition] :
soit $\mathcal{D}$ une droite du plan, et $k \in \RR^{*}$. L'affinité orthogonale de base $\mathcal{D}$ et de rapport $k$, notée $f_{\mathcal{D},k}$ est l'application  $f$:
\begin{tabular}[t]{rlc}
$E$ & $\to$ & $E$ \\
$M$ & $\mapsto$ & $M'$\\
\end{tabular}
telle que $\overrightarrow{p(M)M'}=k.\overrightarrow{p(M)M}$, où $p(M)=p_{\perp,\mathcal{D}}(M)$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[remarques] :
\begin{itemize}
\item on exclu $k=0$ car alors $f$ est une projection (pas une affinité car pas bijective)
\item si $k=1$, $f=Id$
\item si $k=-1$, $f=s_{\mathcal{D}}$ (réflexion)
\end{itemize}
\end{moyen2}

exemple : $k=\dfrac{1}{2}$

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_1.eps}
\end{center}

\begin{moyen2}[Théorème 1] :
$f_{\mathcal{D},k}$ est une \textbf{application affine}, d'application linéaire associée. $k.\overrightarrow{Id}+(1-k).\overrightarrow{p}$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : soit $M'=f(M)$, $N'=f(N)$. On cherche $\overrightarrow{\varphi}$ tel que $\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{\varphi}(\overrightarrow{MN})$\\
$\overrightarrow{M'N'}$=$\overrightarrow{M'p(M)}$+$\overrightarrow{p(M)p(N)}$+$\overrightarrow{p(N)N'}$=$-k\overrightarrow{p(M)M}$+$\overrightarrow{p(M)p(N)}$+$k\overrightarrow{p(N)N}$=\\$k$.($\overrightarrow{Mp(M)}$+$\overrightarrow{p(M)p(N)}$+$\overrightarrow{p(M)N}$)+$(1-k)\overrightarrow{p(M)p(N)}$=$k\overrightarrow{MN}$+$(1-k)\overrightarrow{p}(\overrightarrow{MN})$=($k\overrightarrow{I_{d}}$+$(1-k)\overrightarrow{p})(\overrightarrow{MN})$\\
Donc $f_{\mathcal{D},k}$ est une application affine, d'application linéaire associée $\overrightarrow{\varphi}$=$k.\overrightarrow{Id}+(1-k).\overrightarrow{p}$
\end{preuve}

rem : \begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{p}(\overrightarrow{MN})=\overrightarrow{p(M)p(N)}$ ($p$ projection)
\item $\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}$+$(1-k)\overrightarrow{p(M)p(N)}$ et 
      $\overrightarrow{p(M)p(N)}=\overrightarrow{M'N'}$ si $(MN)$ $\Vert$ $(\mathcal{D})$\\donc $\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{MN}$ si $(MN$ $\Vert$ $(\mathcal{D})$
\end{enumerate}

\begin{moyen2}[Proposition] :\\
~(i) $f$ bijective $\Leftrightarrow$ $k\neq 0$ et $f^{-1}=f_{\mathcal{D},\frac{1}{k}}$\\
~(ii) si $k\neq 1$, $Fix(f)=\mathcal{D}$
\end{moyen2}


\begin{moyen2}[Expression analytique] :
$\overrightarrow{p(M)M'}=k.\overrightarrow{p(M)M}$ d'où
$p(M)$= $\left(\begin{array}{c}
x\\0 
\end{array}\right)$ et $M'$= $\left(\begin{array}{c}
x'=x \\y'=k.y 
\end{array}\right)$
\end{moyen2}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_2.eps}
\end{center}

\section{Image d'un cercle par affinité orthogonale dans le plan}

\begin{moyen2}[Théorème 2] :\\
\begin{enumerate}
\item L'image d'un cercle par une affinité orthogonale ($k\neq 0$) est une ellipse 
\item Toute ellipse $\mathcal{E}$ d'équation réduite $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ($a>b$) est l'image de son cercle principal $\mathcal{C}_{a}$ (resp. son cercle secondaire $\mathcal{C}_{b})$, d'équation $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ (resp. $x^{2}+y^{2}=b^{2}$) par l'affinité orthogonale $f$ de base $\left[ Ox \right)$ (resp. $\left[ Oy \right)$) et de rapport $\frac{b}{a}$ (resp. $\frac{a}{b}$).
\end{enumerate}
\end{moyen2}

\begin{preuve} :\\
\begin{enumerate}
\item (a) soit $\Omega(x_{0},y_ {0})$, $\mathcal{C}:=\mathcal{C}(\Omega,R)$ : $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}$\\
Soit $f_{\mathcal{D},k}$:
\begin{tabular}[t]{rlc}
$E$ & $\to$ & $E$ \\
$M(x,y)$ & $\mapsto$ & $M'(x'=x,y'=ky)$\\
\end{tabular} avec $M'$= $\left(\begin{array}{c}
x'=x \\y'=k.y 
\end{array}\right)$\\
Alors $f_{\mathcal{D},k}(\mathcal{C})$ : $(x'-x_{0})^{2}+(\frac{y'}{k}-y_{0})=R^{2}$,\\
d'où $f_{\mathcal{D},k}(\mathcal{C})$ : $\dfrac{(x'-x_{0})^{2}}{R^{2}}+\dfrac{(\frac{y'}{k}-y_{0})}{R^{2}k^{2}}=1$ (bien une ellipse)
\item (b) soit $\mathcal{C}_{a}$ : $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ et $f_{[Ox),\frac{b}{a}}$ : 
\begin{tabular}[t]{rlc}
$E$ & $\to$ & $E$ \\
$M(x,y)$ & $\mapsto$ & $M'(x'=x,y'=y\frac{b}{a})$\\
\end{tabular}\\
$f_{[Ox),\frac{b}{a}}(\mathcal{C}_{a})$ : $~x'^{2}+\dfrac{a^{2}}{b^{2}}y'^{2}=a^{2}$\\
$f_{[Ox),\frac{b}{a}}(\mathcal{C}_{a})$ : $~\dfrac{x'^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y'^{2}}{b^{2}}=1$, donc $\mathcal{E}=f(\mathcal{C}_{a})$
\end{enumerate}
\end{preuve}

rem : preuve pas finie en (a) : cela montre juste que tout point de $\mathcal{C}$ est envoyé sur une ellipse. Mais rien ne nous dit que cette ellipse est entièrement décrite...

\section{Applications}

\subsection{Construction d'une ellipse point par point}

On construit les cercles principaux $\mathcal{C}_{a}$, $\mathcal{C}_{b}$ puis un point queclonque $M$ sur $\mathcal{C}_{a}$. On trace la tangente à $\mathcal{C}_{a}$ en $M$; cette tangente coupe $(Ox)$ au point $K$. Soit $R=(OM)\bigcap\mathcal{C}_{b}$. Soit $D_{1}$ la perpendiculaire à $(Oy)$ passant par $R$. Soit $D_{2}$ la perpendiculaire à $(Ox)$ passant par $M$. Soit $n \in D_{1}\bigcap D_{2}$.\\
Alors $N\in \mathcal{E}$, et $(NK)=\mathcal{T}_{N,\mathcal{E}}$ (tangente à $\mathcal{E}$ au point $N$).

\begin{preuve} : par le théorème de Thalès, $\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OM}}$=$\dfrac{b}{a}$=$\dfrac{\overline{SN}}{\overline{SM}}$, donc $\overline{SN}=\dfrac{b}{a}\overline{SM}$\\
Donc par le théorème 2-b, le point $N$ appartient à l'ellipse $\mathcal{E}$ d'équation : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$, \\
$f_{[Ox),\frac{b}{a}}$ : 
\begin{tabular}[t]{rlc}
$M$ & $\mapsto$ & $N$\\
$K$ & $\mapsto$ & $K$\\
\end{tabular} donc $(MK)\mapsto (NK)$.\\
Or $(MK)$ est la tangente à $\mathcal{C}_{a}$ en $M$, donc $(NK)$ est la tangente à $\mathcal{E}$ en $N$ 
\end{preuve}

rem : peut-être faudrait-il détailler que affinité conserve le contact

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_3.eps}
\end{center}

\subsection{Projection orthogonale d'un cercle sur un plan}

\begin{moyen2}[Proposition] :
le projeté orthogonal d'un cercle de rayon $R$ et de plan $\prod_{1}$ sur un plan $\prod$ \textbf{non perpendiculaire} à $\prod_{1}$ est une ellipse de demi-axes $R$ et $R\cos \theta$, où $\theta$ est l'angle géométrique de $\prod$ et $\prod_{1}$, $\theta \in$ $[ 0,\dfrac{\pi}{2}[$
\end{moyen2}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_6_2_2.eps}
\end{center}

\begin{preuve} : on fait une rotation vectorielle $\overrightarrow{r}(\theta,\Delta)$, puis une affinité orthogonale $f(\Delta,k)$. Soit $B\in \mathcal{C}_{1}$, $B\notin \Delta$, soit $P_{\perp}=f\circ \overrightarrow{r}$, d'où :\\
$P_{\perp}$ : 
\begin{tabular}[t]{ccccc}
$\mathcal{C}_{1}$ & $\mapsto$ & $\mathcal{C}_{2}$ & $\mapsto$ & $\mathcal{E}$\\
$O$ & $\mapsto$ & $O$ & $\mapsto$ & $O$\\
$A$ & $\mapsto$ & $A$ & $\mapsto$ & $A$\\
$M_{1}$ & $\mapsto$ & $M'$ & $\mapsto$ & $M$\\
$B_{1}$ & $\mapsto$ & $B'$ & $\mapsto$ & $B$\\
\end{tabular}\\
Rapport $k=$?  $k=\dfrac{KM}{KM'}=\dfrac{KM}{KM_{1}}=\dfrac{KM_{1}\cos \theta}{KM_{1}}$\\
L'image $\mathcal{E}$ de $\mathcal{C}_{1}$ par $P_{\perp}$ est l'ellipse de demi-axes $OA=R$ et $OB=OB'\cos \theta=R\cos \theta$
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{affinite_48_6_3.eps}
\end{center}


\section{Compléments}

%\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_4_1.eps}
%\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_4_2.eps}
%\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_4_3.eps}
%\end{center}
%
%\subsection{preuve théorème 1}
%
%\begin{preuve} :
%.
%\end{preuve}
%
%\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm]{affinite_48_5_2.eps}
%\end{center}

\subsection{Terracher}

%\begin{center}
%\includegraphics[width=5cm]{al_kashi.eps}
%\end{center}

\end{document}
