\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{isolatin1}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{amsopn}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsxtra}
\usepackage{upref}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{ulsy}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
\usepackage{vmargin}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{fontenc}
%\usepackage{marvosym}
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
\setmarginsrb{2,5cm}{0,5cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt}
%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
\date{}
%
\title{Exposé 40 : Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l'espace orienté : calculs de distances, d'aires, de volumes, d'angles...}
%\author{Gwendal}
%
\newenvironment{pluslong}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
%
\newenvironment{pluslong2}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{moyen}[1][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1\\} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{moyen2}[1][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{court}%
{\begin{flushleft} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
%
\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\textbf{Prérequis}\footnotemark[1] :\\
-Définition et propriétés du produit scalaire et vectoriel\\
-Vecteur normal à un plan\\
-Projection orthogonale\\
%
\footnotetext[1]{L'exposé a été présenté (et tapé) à Bordeaux(1) le 03/02/2005 par Gwendal Haudebourg, et a été corrigé par M. C. Mise à jour le 06/02/2006}

\begin{moyen}[Cadre de la leçon]
Soit $\mathcal{E}$ espace affine euclidien orienté (de dimension 2 ou 3), $\mathcal{\overrightarrow{E}}$ espace vectoriel euclidien associé. On se place dans un repère orthonormé.
\end{moyen}

\section{Calculs d'angles}

\begin{moyen}[Proposition 1.1]
(i) $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\Vert u \Vert \Vert v \Vert}$ 
\hspace{2cm}(ii) $\vert \sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \vert=\frac{\Vert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \Vert}{\Vert u \Vert \Vert v \Vert}$
\end{moyen}

\begin{moyen}[preuve]
(i) soit immédiat avec la définition du produit scalaire par le cosinus, soit : $\frac{\overrightarrow{v'}}{\overrightarrow{v}}=\vert \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \vert$ d'où $\overrightarrow{v'}=\Vert \overrightarrow{v} \Vert \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\frac{\overrightarrow{u}}{\Vert \overrightarrow{u} \Vert}$ or $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v'}+\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v'}$ d'où $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u} \Vert.\Vert \overrightarrow{v} \Vert . \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$\\
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{cos.eps}
\end{center}
(ii) immédiat par la définition géométrique (voir 4) du produit vectoriel 
\end{moyen}

\section{Calculs de distances}

\subsection{Distance entre deux points}

Soient $A(x_{A},y_{A},z_{A})$, $B(x_{B},y_{B},z_{B})$. Alors $d(A,B)=\Vert \overrightarrow{AB} \Vert=\sqrt{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$

\subsection{Distance d'un point à une droite}

\begin{moyen}[Définition]
On définit $d(M,\mathcal{D})=inf\left\lbrace MM', M' \in \mathcal{D}\right\rbrace $
\end{moyen}

\begin{moyen}[Proposition 2.1]
(i) $d(M,\mathcal{D})=MH$ avec $H=proj_{\perp,\mathcal{D}}(M)$
(ii) $d(M,\mathcal{D})=\dfrac{\Vert \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{v}\Vert}{\Vert \overrightarrow{v} \Vert}$ où $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{v})$
\end{moyen}

\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{proj.eps}
\end{center}

\begin{moyen}[preuve 2.1]
(ii) $d(M,\mathcal{D})=MH$ et $MH=AM.\vert \sin(\overrightarrow{v},\overrightarrow{AM}) \vert=AM.\frac{\Vert \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{AM} \Vert}{\Vert \overrightarrow{v} \Vert \Vert \overrightarrow{AM} \Vert}$, d'où le résultat.
\end{moyen}

\subsection{Distance d'un point à un plan}

\begin{moyen}[Définition]
Soit $\mathcal{P}$ plan, $A \in \mathcal{P}$.On définit $d(M,\mathcal{P}):=inf\left\lbrace MM', M' \in \mathcal{P}\right\rbrace $
\end{moyen}

\begin{moyen}[Définition]
 Soit $\overrightarrow{n}$ vecteur normal de $\mathcal{P}$, $A \in \mathcal{P}$, alors $\mathcal{P}(A,\overrightarrow{n}):=\left\lbrace M \in \mathcal{E}, \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0 \right\rbrace $\\
\end{moyen}

\begin{moyen}[Proposition 2.2]
(i) $d(M,\mathcal{P})=MH$ où $H=proj_{\perp,\mathcal{D}}(M)$
(ii) $d(M,\mathcal{P})=\frac{\vert \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} \vert}{\Vert \overrightarrow{n} \Vert}$ où $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal et $A \in \mathcal{P}$ (intéressant uniquement si le plan est défini par un vecteur normal et un point). 
\end{moyen}

\begin{moyen}[preuve 2.2]
(i) Pour tout $B \in \mathcal{P}$, $MH^{2}+HB^{2}=MB^{2}$ par pythagore, d'où $MB \geq MH$, donc $MH$ est la distance minimale de $\mathcal{P}$ à $M$\\
(ii) $\vert \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} \vert=\vert \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{n} \vert=MH.\Vert \overrightarrow{n} \Vert$ d'où $MH=\frac{\vert \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} \vert}{\Vert \overrightarrow{n} \Vert}$
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{plan.eps}
\end{center}
\end{moyen}

\begin{moyen}[Proposition 2.3]
Soit plan $\mathcal{P}$ est défini par trois points $A,B,C$. Alors :\\
 $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{\vert \overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) \vert}{\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Vert}$
\end{moyen}

\begin{moyen}[preuve 2.3]
On a : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ (plan défini par $A,B$ et $C$).
\end{moyen}

\begin{moyen}[Corollaire]
Si $\mathcal{P}$ est définit par trois points $A,B,C$, on a : $\mathcal{P}_{(ABC)}=\left\lbrace \overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})=0 \right\rbrace $ 
\end{moyen}

\begin{pluslong}[preuve]{(Corollaire)}
On a : $\mathcal{P}_{ABC}=\left\lbrace M \in \mathcal{E},d(M,\mathcal{P})=0 \right\rbrace=\left\lbrace \overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})=0 \right\rbrace$ d'après prop. 2.3 
\end{pluslong}

\begin{moyen}[Application du Corollaire]
Soient $A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$. Donnez l'équation de $\mathcal{P}_{ABC}$.\\
Soit $M(x,y,z) \in \mathcal{P}_{ABC}$. Or $\mathcal{P}_{ABC}=\left\lbrace  M \in \mathcal{E}, \overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})=0 \right\rbrace
$ $=\left\lbrace M \in \mathcal{E}, det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \right\rbrace $ $=\left\lbrace M \in \mathcal{E} tq x-1+y+z=0 \right\rbrace $. Donc $\mathcal{P}: x-1+y+z=0$.
\end{moyen}

\begin{moyen}[Remarque]
Si $\mathcal{P}$ est défini par une équation cartésienne $\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0$, $(a,b,c) \in \RR^{3}$, alors :\\
 $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{\vert ax+by+cz+d \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
\end{moyen}

\begin{moyen}[preuve 2.4]
Soit $M(x,y,z) \in \mathcal{E}$, $A(x_{A},y_{A},z_{A}) \in \mathcal{P}$ (ie $ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d=0$), et $\overrightarrow{n}(a,b,c)$ normal à $\mathcal{P}$. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=a(x-x_{A})+b(y-y_{A})+c(z-z_{A})=ax+by+cz+d$ d'où le résultat par 2.2 (ii)
\end{moyen}

\section{Calculs d'aire et de volumes}

\subsection{Calcul d'aire}

\begin{moyen}[Proposition 3.1]
(i) Soit $ABCD$ un parallélogramme. Alors $\mathcal{A}_{ABCD}=\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} \Vert$ $=\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Vert$\\
(ii) Soit $ABC$ un triangle. Alors $\mathcal{A}_{ABC}=\frac{1}{2} \Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Vert$
\end{moyen}

\begin{moyen}[preuve 3.1]
(i) $\mathcal{A}=AB.HC=AB.BC.\vert \sin(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}) \vert=\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{BC} \Vert$ $\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} \Vert$ $=\Vert \overrightarrow{AB} \wedge (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}) \Vert$ $=\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Vert$.\\
(ii) découle directement de (i) (demi-parallélogramme)
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{par.eps}
\end{center}
\end{moyen}

\subsection{Calcul de volume}

\begin{moyen}[Proposition 3.2]
(i) Soit $ABCDEFGH$ parallélépipède. $\mathcal{V}_{p}=\vert \overrightarrow{AF}.(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}) \vert$\\
(ii) Soit $ABCD$ tétraèdre. $\mathcal{V}_{t}=\frac{1}{6}\vert \overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}) \vert$\\
\end{moyen}

\begin{moyen}[preuve 3.2]
(i) $\mathcal{V}_{p}=\mathcal{A}_{ABCD}.FK$ or $FK=d(F,\mathcal{P}_{ABD})=\dfrac{\vert \overrightarrow{AF}.(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD})\vert}{\Vert \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD} \Vert}$ et $\mathcal{A}_{ABCD}=\Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} \Vert$ donc $\mathcal{V}_{p}=\vert \overrightarrow{AF}.(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}) \vert$\\
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{paral.eps}
\hspace{1cm}\includegraphics[width=4cm]{tetra.eps}
\end{center}
(ii) $\mathcal{V}_{t}=\frac{1}{3}\mathcal{A}_{ABC}.DH$ or $DH=d(D,ABC)=\frac{\Vert \overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC})\Vert}{\Vert \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} \Vert}$ et $\mathcal{A}_{ABC}=\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\Vert$ d'où $\mathcal{V}_{t}=\frac{1}{6}\vert \overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}) \vert$
\end{moyen}

\section{Compléments et rappels}

\subsection{Norme-Produit scalaire}

\begin{pluslong}[Définitions]{(Norme-Produit scalaire)}
Norme : soit $\overrightarrow{u}$ un représentant de $\overrightarrow{AB}$. Alors $\Vert \overrightarrow{u} \Vert :=d(A,B)=AB$ (la norme ne dépend pas du représentant choisi).\\
Produit scalaire : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}\in \overrightarrow{\mathcal{P}}$. On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, le réel noté $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$, défini par :\\
$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}:=\frac{1}{2}(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \Vert^{2}-\Vert \overrightarrow{u} \Vert^{2}- \Vert \overrightarrow{v} \Vert^{2} )$
\end{pluslong}

\subsection{Produit vectoriel}

\subsubsection{Définition classique}

\begin{pluslong}[Définition]{(Produit mixte)}
Soit $\mathcal{\overrightarrow{E}}$ l'espace vectoriel orienté de dimension 3. On définit le produit mixte de $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ (noté $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]$) par $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]:=det_{\mathcal{B}}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$, où $\mathcal{B}$ est une base orthonormée directe de $\mathcal{\overrightarrow{E}}$. Le produit mixte est indépendant de la b.o.n de $\mathcal{\overrightarrow{E}}$ choisie.
\end{pluslong}

\begin{pluslong}[Théorème-Définition]{(Produit vectoriel)}
Pour tout couple de vecteur $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ de $\mathcal{\overrightarrow{E}}$, il existe un unique vecteur $\begin{large} \overrightarrow{V} \end{large}$ tel que pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ de $\mathcal{\overrightarrow{E}}$, on a : $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\begin{large} \overrightarrow{V} \end{large}.\overrightarrow{w}$. Ce vecteur est appelé produit vetoriel de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, et noté $\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}$.
\end{pluslong}

\subsubsection{Définitions plus géométrique}

\begin{pluslong}[Définition]{(Produit vectoriel)}
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non-colinéaires de $\mathcal{\overrightarrow{E}}$, et $\overrightarrow{k}$ un vecteur unitaire normal à $\mathcal{P}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ orientant $\mathcal{P}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Alors $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}:=\Vert \overrightarrow{u} \Vert.\Vert \overrightarrow{v} \Vert.\sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).\overrightarrow{k}$
\end{pluslong}

\begin{pluslong}[Définition]{(Produit vectoriel Terracher)}
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de $\mathcal{\overrightarrow{E}}$. On appelle produit vectoriel de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$, le vecteur noté $\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}$ défini ainsi :\\
 -lorsque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, $\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=0$\\
 -lorsque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, $\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (direction); ($\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}$) est une base directe (sens);$\Vert \overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v} \Vert=\Vert \overrightarrow{u} \Vert$.$\Vert \overrightarrow{v} \Vert$.$\sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ (norme).
 \end{pluslong}

\subsubsection{Propriétés du produit vectoriel}

Le produit vectoriel est bilinéaire, antisymétrique, alternée.\\
Dans la b.o.n $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ où $\overrightarrow{u}(x,y,z)$,$\overrightarrow{v}(x',y',z')$, on a : \\
$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=(yz'-zy')\overrightarrow{i}+(x'z-xz')\overrightarrow{j}+(xy'-yx')\overrightarrow{k}$\\
Si $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ b.o.n de $\mathcal{E}$, alors $\overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{j}\wedge\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{k}=\overrightarrow{j}$.

\subsection{Exercices}

(i)
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{exercice.eps}
\end{center}
Rapport entre $\mathcal{A}_{ABC}$ et $\mathcal{A}_{A'B'C'}$ ?\\
on a : $\overrightarrow{A'B'}\wedge\overrightarrow{A'C'}$ $=(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})\wedge(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC'})=$ $(\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC})\wedge(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})=$ $(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC})\wedge(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})=$ $3\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AC}\wedge 2\overrightarrow{BA}=$ $ 3\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{CA}$ $=7\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{CA}$\\
donc $\mathcal{A}_{A'B'C'}=\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{A'B'}\wedge\overrightarrow{A'C'} \Vert$ $=\frac{7}{2}\Vert\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{CA}\Vert$ $=\frac{7}{2}\Vert \overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AB}\Vert$ $=7\mathcal{A}_{ABC}$

\newpage
(ii) 
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{exercice2.eps}
\end{center}
\begin{moyen}
Soit $G$ isobarycentre de $A,B,C$. Relation entre $\mathcal{ABC}$, longueurs des côtés et distance de $G$ à $H$ ?\\
$GH=\dfrac{2\mathcal{A}_{AGB}}{c}$, or $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ donc $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, $\mathcal{A}_{AGB}=\dfrac{1}{2} \Vert \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{AB} \Vert$ $=\dfrac{1}{6}\Vert \overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{AB} \Vert=\dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{3}$ et $GH=\dfrac{2\mathcal{A}_{ABC}}{3c}$.\\
On peut faire de même en projetant G sur $[BC]$ et $[AC]$.
\end{moyen}

\subsection{Questions}

\begin{moyen}
(1) Pourquoi a t-on $\mathcal{A}_{parallelogramme}=AB.HC$ ?\\
Parce que l'on suppose que l'aire d'un rectangle est $AB.BC$, puis on découpe le parallélogramme en rectangle de même aire.\\
(2) Pourquoi a t-on $\mathcal{V}_{parallelepipede}=\mathcal{A}_{ABCD}.FK$ ?\\
Par le même principe que ce qui précède : on découpe le parallélépipède de manière à obtenir un parallélépipède rectangle (boîte d'allumette) de même volume.\\
(3) Pourquoi $\mathcal{V}_{tetraedre}=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{ABC}.DH$ ?\\
Pour le tétraèdre, c'est beaucoup moins évident : soit on le montre par intégration (en se ramenant au cas simple de la figure (*)); soit en découpant le tétraèdre, et en se ramenant à un parallélépipède (ce qui n'est vraiment pas évident à voir).
\end{moyen}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{int.eps}
\end{center}

\begin{moyen}
(4) Application des formules sur les angles :\\
Soient $\overrightarrow{u}(x,y),\overrightarrow{v}(x',y')$ vecteurs de $\RR^{2}$. $\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=(x,y,0)\wedge(x',y',0)=(0,0,xy'-x'y)$.\\
$\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}$\\
$\vert \sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \vert=\dfrac{\vert xy'-yx'\vert}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}$, donc si on se place dans un repère affine non orienté, on a : $\sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{xy'-yx'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}$ (ie on pourrait très bien donner la formule avec le sinus sans la valeur absolue, à condition de se placer dans un repère non orienté...).
\end{moyen}

\end{document}
