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\usepackage{stmaryrd} %pour faire de jolis paralleles
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% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
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\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
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%
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%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
%
\date{}
%
\title{Exposé 37 : Orthogonalité dans l'espace affine euclidien : droites orthogonales, droite othogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications}
%\author{Gwendal}
% http://gwendal.haudebourg.free.fr
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%%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Prérequis\footnotemark[1]} :& -Définition vectorielle de droites et de plans\\
 & -Positions relatives de droites et de plans dans l'espace\\
 & -Produit scalaire dans l'espace\\
 & -Vecteurs orthogonaux et colinéaires\\
\end{tabular} \\
%
\footnotetext[1]{Tapé par Gwendal le 10/01/2007. Réalisé avec \LaTeX, Inkscape pour les dessins. Cet exposé n'est qu'une ébauche.}
%
\begin{moyen2}[Cadre de l'exposé] : ($\mathcal{E},\overrightarrow{\mathcal{E}}$) espace affine euclidien de dimension 3.
\end{moyen2}

\section{Droites orthogonales}

\begin{moyen2}[Définition 1] : Deux droites $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{u})$ et $\mathcal{D'}(B,\overrightarrow{v})$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. Notation : $\mathcal{D}\perp\mathcal{D'}$
\end{moyen2}

remarque : cette définition est cohérente car la nullité du produit scalaire ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs.

\begin{moyen2}[Proposition 1] : (1) $\mathcal{D}\varparallel\mathcal{D'}$ et $\mathcal{D''}\perp\mathcal{D'}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{D''}\varparallel\mathcal{D'}$\\
(2) Dans le plan, si $\mathcal{D}\perp\mathcal{D''}$ et $\mathcal{D'}\perp\mathcal{D''}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{D}\varparallel\mathcal{D'}$\\
\end{moyen2}

remarque : la proposition (1-2) n'est pas vraie dans l'espace

\section{Droite orthogonale à un plan}

\begin{moyen2}[Définition 2] : $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{u})$ et $\mathcal{P}(O,\overrightarrow{n})$ sont orthogonaux si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires. On note alors $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 2] : une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : ($\Rightarrow$) on a : $\mathcal{P}\perp\mathcal{D}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires. Soient $O,A,B\in\mathcal{P}$, alors $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{OB}$, donc $\overrightarrow{u\perp\overrightarrow{OA}}$ et $\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{OB}$, donc $\mathcal{D}\perp (OA)$, $\mathcal{D}\perp(OB)$.\\
($\Leftarrow$) : soit $\mathcal{D}(O,\overrightarrow{u})$ et $\mathcal{D'}(O',\overrightarrow{n})$ où $(O,O')\in\mathcal{P}$, $O\neq O'$, et $\mathcal{D}$ orthogonale à deux droites sécantes $d_{1}(A_{1},\overrightarrow{u1})$ et $d_{2}(A_{2},\overrightarrow{u2})$ de $\mathcal{P}$. Il est clair que $\mathcal{D}$ est orthogonale à toute droite du plan $\mathcal{P}$ (car toute droite du plan a pour vecteur directeur $a.d_{1}+b.d_{2}$), de même pour $\mathcal{D'}$. Les droite $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont donc coplanaires, et $\mathcal{D}\perp\mathcal{D'}$ (en appliquant la proposition (1-2) dans le plan), d'où le résultat.
 $d_{1}(\overrightarrow{u1}$ 
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Corollaire 1] : \\
(i) ($\mathcal{D}\varparallel\mathcal{D'}$ , $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{D'}\perp\mathcal{P}$\\
(ii) ($\mathcal{P}\varparallel\mathcal{P'}$ , $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{D}\perp\mathcal{P'}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Propriétés] : \\
(1) Il existe un unique plan $\mathcal{P}$ passant par un point $A$ donné et orthogonal à une droite $\mathcal{D}$ donnée. Ce plan s'appelle le plan perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par $A$.\\
(2) Il existe une unique droite $\mathcal{D}$ passant par un point $A$ donné et orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ donné. Cette droite s'appelle la perpendiculaire à $\mathcal{P}$ passant par $A$.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Corollaire 2] : \\
(i) ($\mathcal{D}\perp\mathcal{D'}$ , $\mathcal{P}\perp\mathcal{D'}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{D}\varparallel\mathcal{P}$\\
(ii) ($\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$ , $\mathcal{D}\perp\mathcal{P'}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{P}\varparallel\mathcal{P'}$\\
(iii) ($\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$ , $\mathcal{D'}\varparallel\mathcal{P}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{D'}\perp\mathcal{D}$\\
(iv) ($\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$ , $\mathcal{D'}\perp\mathcal{P}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{D}\varparallel\mathcal{D'}$\\
(v) $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{D}\perp\mathcal{D'}$ où $\mathcal{D'}$ droite quelconque de $\mathcal{P}$
\end{moyen2}

exercice : (1) Montrez que les arrêtes opposés sont deux à deux orthogonales\\
(2) Montrez que le projeté orthogonal $H$ de $O$ sur $(ABC)$ est l'orhocentre.

\section{Plans perpendiculaires}

\begin{moyen2}[Définition 3] : $\mathcal{P}(O,\overrightarrow{n})$ et $\mathcal{P'}(O',\overrightarrow{n'})$ sont perpendiculaires si $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{n'}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 3] : $\mathcal{P}\perp\mathcal{P'}$ $\Leftrightarrow$ $\mathcal{P}$ contient une droite $\mathcal{D}$ tq. $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Proposition 4] : \\
(1) ($\mathcal{P}\perp\mathcal{P'}$ et $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{D}\varparallel\mathcal{P'}$\\
(2) ($\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}\varparallel\mathcal{P'}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{P}\perp\mathcal{P'}$\\
(3) ($\mathcal{P}\perp\mathcal{P'}$ et $\mathcal{P}\varparallel\mathcal{P''}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{P'}\perp\mathcal{P''}$\\
(4) ($\mathcal{P'}$ et $\mathcal{P''}$ distincts,  $\mathcal{P}\perp\mathcal{P'}$ et $\mathcal{P}\perp\mathcal{P''}$) $\Rightarrow$ $\mathcal{P'}\cap\mathcal{P''}\perp\mathcal{P}$
\end{moyen2}

\section{Applications}

\subsection{Théorème des trois perpendiculaires}

Soit $M\in\mathcal{E}$, $\mathcal{D}\subset\mathcal{P}$, $H=proj_{\perp,\mathcal{P}}(M)$ et $K=proj_{\perp,\mathcal{P}}(H)$. Montrez que $K=proj_{\perp,\mathcal{D}}(M)$.

\begin{preuve} : $H=proj_{\perp, \mathcal{P}}(M)$ donc $H\in\mathcal{P}$ et $(MH)\perp\mathcal{P}$, d'où $(MH)\perp\mathcal{D}$ (car$\mathcal{D}\subset\mathcal{P}$). De même $K=proj_{\perp,\mathcal{P}}(H)$ donc $K\in\mathcal{D}$ et $(KH)\perp\mathcal{D}$, d'où $(MKH)\perp\mathcal{D}$, d'où $\mathcal{D}\perp (MK)$, et ($K\in\mathcal{D}$, $\mathcal{D}\perp(MK)$) $\Rightarrow$ $K=proj_{\perp,\mathcal{D}}(M)$
\end{preuve}

\subsection{Plan médiateur d'un segment}

\begin{moyen2}[Proposition 5] : L'ensemble des points équidistants de deux points distincts $A$ et $B$ donnés est le plan passant $I=m[AB]$ et orthogonal à $(AB)$.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Définition 4] : L'ensemble des points équidistants de deux points distincts $A$ et $B$ est appelé le plan médiateur de $[AB]$.
\end{moyen2}

\section{Compléments}

\subsection{Définitions et propriétés possibles}

\begin{moyen2}[Définition 0] : Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si leurs produit scalaire est nul. On note alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
\end{moyen2}

On peut ajouter une propriété : (3) si $\mathcal{D}\subset\mathcal{P}$ et $A\in\mathcal{P}$, $\exists !\mathcal{D'}\subset\mathcal{P}$ tq. $\mathcal{D}\perp\mathcal{D'}$ et $A\in\mathcal{D'}$

Dans le (II) : autre définition possible de droite orthogonale à un plan \\

\begin{moyen2}[Définition] : Si une droite $\mathcal{D}$ est orthogonales à toute droite du plan $\mathcal{P}$, alors $\mathcal{D}$ est dite orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan. On note alors $\mathcal{D}\perp\mathcal{P}$
\end{moyen2}

\subsection{Preuves}

Voici les preuves que l'on a (souvent) pas le temps de faire en 25 minutes.

\begin{preuve2}{(Proposition 6)} : soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $I$ orthogonal à $(AB)$. Montrons que l'ensemble des points $M\in\mathcal{P}$ sont à égale distance de $A$ et $B$ : $MA^{2}=MI^{2}+IA^{2}$=$MI^{2}+IB^{2}$=$MB^{2}$ (théorème de pythagore).\\
Réciproquement, si $MA)MB$, alors : $MA^{2}=MB^{2}$ $\Leftrightarrow$ $(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^{2}$=$(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^{2}$ $\Leftrightarrow$  $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}$ $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BA}=0$ ie $(MI)\perp(AB)$, d'où $(MI)\varparallel(\mathcal{P})$ (cf. Corollaire 2), or $(MI)$ et $\mathcal{P}$ ne sont pas disjoints, donc $(MI)\subset\mathcal{P}$, donc $M\in\mathcal{P}$
\end{preuve2}

\section{Remarques}

Gros problème preuve Proposition 2. Pas de problème si on prend la définition ci-dessus pour droite orthogonale à un plan.

\end{document}