\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{isolatin1}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{amsopn}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsxtra}
\usepackage{upref}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{ulsy}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate} % pour avoir des enumerations plus evoluees
\usepackage{vmargin}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{fontenc}
%\usepackage{marvosym}
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
% Pour afficher les reels, complexe, etc facilement, et sans devoir rentrer ds le mode math : pas besoin de $ $ (je m'en suis pas servit pour l'instant)
% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\def\mathtitre#1{
\font\tenrm=cmr10 scaled \magstep#1
\font\sevenrm=cmr7 scaled \magstep#1
\font\fiverm=cmr5 scaled \magstep#1
\font\teni=cmmi10 scaled \magstep#1
\font\seveni=cmmi7 scaled \magstep#1
\font\fivei=cmmi5 scaled \magstep#1
\font\tensy=cmsy10 scaled \magstep#1
\font\sevensy=cmsy7 scaled \magstep#1
\font\fivesy=cmsy5 scaled \magstep#1
\font\tenex=cmex10 scaled \magstep#1
\textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm
\scriptscriptfont0=\fiverm
\textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni
\scriptscriptfont1=\fivei
\textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy
\scriptscriptfont2=\fivesy
\textfont3=\tenex \scriptfont3=\tenex
\scriptscriptfont3=\tenex
}
%pour mettre des caractères mathématiques
%
\parindent=0pt
\setmarginsrb{2,5cm}{0,5cm}{2,5cm}{1,5cm}{16pt}{30pt}{16pt}{45pt}
%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
%
\date{}
\title{Exposé 26 : Equation cartésienne d'une droite du plan euclidien. Application à l'étude d'inéquations de la forme $a\cos t+b\sin t\geqslant c$}
%\author{Gwendal}
%
\newenvironment{pluslong}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2\\} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
%
\newenvironment{pluslong2}[2][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textsc{#2} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{moyen}[1][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1\\} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{moyen2}[1][]%
{\begin{flushleft}\textbf{#1} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{court}%
{\begin{flushleft} \textup}%
{\end{flushleft} }
%
\newenvironment{preuve2}[2][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve} \textsc{#2} \textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\newenvironment{preuve}[1][]%
{\begin{flushleft}\underline{preuve}\textup}%
{\qed\end{flushleft}}
%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\textbf{Prérequis}\footnotemark[1] :\\
-Notion de vecteurs colinéaires et othogonaux.\\
-Définition d'une droite.\\
-Notion de vecteurs directeurs et normaux.\\
-Notion de droites parallèles, perpendiculaires.\\

Cadre : on se place dans $(\mathcal{P},\overrightarrow{\mathcal{P}})$ plan affine euclidien muni d'un repère orthonormée $\mathcal{R}=$($O$,$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$)

\footnotetext[1]{Exposé tapé et présenté le 11/01/20006 par Gwendal Haudebourg. Elle s'inspire de la leçon de Johann (2004-2005). Réalisé avec \LaTeX, et Inkscape pour les dessins. Mise à jour le 25/03/2006.}
%
\section{Equation cartésienne d'une droite du plan}

\subsection{Cas général}

\begin{moyen2}[Théorème] : (i) Soit $\mathcal{D}$ une droite du plan. Il existe $(a,b,c)\in \RR^{3}$, $(a,b)\neq (0,0)$ tq. $$M(x,y)\in \mathcal{D}\Longleftrightarrow ax+by+c=0$$\\
(ii) Réciproquement, soient $(a,b,c)\in \RR^{3}$ tq. $(a,b)\neq (0,0)$. L'ensemble $\mathcal{D}=\left\lbrace M(x,y)\in\mathcal{P}, ax+by+c=0 \right\rbrace$ est une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-b,a)$\\
(iii) Réciproquement, soient $(a,b,c)\in \RR^{3}$ tq. $(a,b)\neq (0,0)$. L'ensemble $\mathcal{D}=\left\lbrace M(x,y)\in\mathcal{P}, ax+by+c=0 \right\rbrace$ est une droite de vecteur normal $\overrightarrow{n}(a,b)$
\end{moyen2}

\textbf{remarque} : pour désigner une droite $\mathcal{D}$, on utilisera les notations $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{u})$ et $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{n^{\perp}})$ (ou $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{n})$)

\begin{preuve} : (i) soit $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{n})$ une droite du plan, avec $A(x_{0},y_{0})\in\mathcal{D}$ et $\overrightarrow{n}(a,b)$ vecteur normal de $\mathcal{D}$.\\
$M(x,y)\in\mathcal{D}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$ $\Leftrightarrow$ $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0$ $\Leftrightarrow ax+by-ax_{0}-by_{0}=0$ $\Leftrightarrow ax+by+c=0$ où $-ax_{0}-by_{0}=c$\\
(ii) et (iii) Soit $\mathcal{D}:=\left\lbrace M(x,y)\in \mathcal{P},ax+by+c=0 \right\rbrace$. $\mathcal{D}$ est clairement non vide. Soit $A(x_{0},y_{0})\in\mathcal{D}$ et $M(x,y)\in \mathcal{D}$ ie $ax_{0}+by_{0}+c=0$ et $ax+by+c=0$ d'où $ax+by+c=ax_{0}+by_{0}+c$ $\Leftrightarrow$ $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0$ où $\overrightarrow{n}(a,b)$ et $\overrightarrow{AM}(x-x_{0},y-y_{0})$ donc bien une droite $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{n})$\\
$\Leftrightarrow$ $-a(x-x_{0})-b(y-b_{0})=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})$
$\Leftrightarrow$
$\left\vert \begin{array}{ll}
-b & x-x_{0}\\
a & y-y_{0} 
\end{array} \right\vert$
$=0$ où $\overrightarrow{u}(-b,a)$ et $\overrightarrow{AM}(x-x_{0},y-y_{0})$ donc bien une droite $\mathcal{D}(A,\overrightarrow{u})$
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Définition] : L'écriture $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\neq (0,0)$ est appelé l'équation cartésienne de $\mathcal{D}$. On note $\mathcal{D} : ax+by+c=0$
\end{moyen2}

\subsection{Equation réduite}

\begin{moyen2}[Proposition] : si $\mathcal{D}$ non parallèle à $(O,\overrightarrow{j})$, elle possède une unique équation de la forme $y=mx+p$ (1)
\end{moyen2}

\begin{preuve} : (existence) soit $\mathcal{D}$ une telle droite. $\mathcal{D}$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\neq (0,0)$, et pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-b,a)$ non colinéaire à $\overrightarrow{j}(0,1)$ ie $det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j})=$ $\left\vert \begin{array}{ll}
-b & 0 \\
a & 1 
\end{array} \right\vert$ $\neq 0$ donc $b \neq 0$ et $y=\dfrac{-a}{b}x-c$ (unicité : évident)
\end{preuve}

\begin{moyen2}[Définition] : (1) est appelée équation réduite de $\mathcal{D}$. $m$ est le coefficient directeur de $\mathcal{D}$, et $p$ l'ordonnée à l'origine de $\mathcal{D}$.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[remarque] : si $\mathcal{D}$ $\Vert$ $(O,\overrightarrow{j})$, alors elle admet une équation de la forme $x=C$, $C \in \RR$. En effet, si $\overrightarrow{u}(a,b)=(0,m)$ dirige $\mathcal{D}$, alors $M(x,y)\in \mathcal{D}$ $\Leftrightarrow$ $ax+by+c=0$ avec $b=0$ donc $x=\dfrac{-c}{a}=C$
\end{moyen2}

\subsection{Droites parallèles et orthogonales}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $\mathcal{D}$ la droite du plan d'équation $ax+by+c=0$, $(a,b)\neq (0,0)$, et $\mathcal{D'}$ la droite du plan d'équation $a'x+b'y+c'=0$, $(a',b')\neq (0,0)$. Alors :\\
(i) $\mathcal{D}$ parallèle à $\mathcal{D'}$ $\Longleftrightarrow$ $ab'-a'b=0$\\
(ii) $\mathcal{D}$ perpendiculaire à $\mathcal{D'}$ $\Longleftrightarrow$ $aa'+bb'=0$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : 
(i) $\mathcal{D} \parallel \mathcal{D'}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{u}(-b,a)$ et $\overrightarrow{v}(-b',a')$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ $\left\vert \begin{array}{ll}
-b & -b' \\
a & a' 
\end{array} \right\vert$ $= 0$ $\Leftrightarrow$ $ab'-a'b=0$\\
(ii) $\mathcal{D} \perp \mathcal{D'}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{n}(a,b)$ et $\overrightarrow{n'}(a',b')$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=0$ $\Leftrightarrow$ $aa'+bb'=0$
\end{preuve}

\textbf{Proposition} : soit $\mathcal{D}$ une droite du plan d'équation réduite $y=mx+p$, et $\mathcal{D'}$ une droite du plan d'équation réduite $y=m'x+p'$. Alors : \\
(i) $\mathcal{D}$ parallèle à $\mathcal{D'}$ $\Longleftrightarrow$ $m=m'$\\
(ii) $\mathcal{D}$ perpendiculaire à $\mathcal{D'}$ $\Longleftrightarrow$ $mm'=-1$

\begin{preuve} : se ramener à une équation cartésienne et utiliser le théorème précédent :
$\mathcal{D}:y-mx-p=0$, $\mathcal{D'}:y-mx'-p'=0$\\
$\mathcal{D} \parallel \mathcal{D'}$ $\Leftrightarrow$ $1.(-m')+m.1=0$ $\Leftrightarrow$ $m=m'$\\
$\mathcal{D} \perp \mathcal{D'}$ $\Leftrightarrow$ $1+m'm=0$ $\Leftrightarrow$ $mm'=-1$
\end{preuve}

\section{Compléments sur la droite}

\subsection{Distance d'un point à une droite}

\textbf{Théorème} : la distance du point $M(x_{M},y_{M})$ à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $ax+by+c=0$ (où $(a,b)\neq (0,0)$) est $d(M,\mathcal{D})=\dfrac{\vert ax_{M}+by_{M}+c \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

\begin{preuve} : soit $\mathcal{D}:ax+by+c=0$ et $\overrightarrow{n}(a,b)$ vecteur normal à $\mathcal{D}$. soit $H=proj_{\perp,\mathcal{D}}(M)$ (donc $H\in\mathcal{D}$), $d(M,\mathcal{D})=MH=\dfrac{\vert \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{n} \vert}{\Vert \overrightarrow{n} \Vert}=\dfrac{\vert a(x_{H}-x_{M})+b(y_{H}-y_{M}) \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ $=\dfrac{\vert -ax_{M}-by_{M}-c \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
\end{preuve}

\subsection{Régionnement du plan par une droite}

\textbf{Théorème} : soit $(a,b,c)\in \RR^{3}$ avec $(a,b)\neq (0,0)$. La droite $\mathcal{D}:ax+by+c=0$ partage le plan $\mathcal{P}$ en deux demi-plans ouverts : \\
$\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y), ax+by+c>0 \right\rbrace$, $\mathcal{P}^{-}=\left\lbrace M(x,y), ax+by+c<0 \right\rbrace$ et on a : $\mathcal{P}=\mathcal{P}^{+} \bigcup \mathcal{P}^{-} \bigcup \mathcal{D}$ (réunion disjointe)

\section{Application à l'étude de l'inéquation $a \cos t+b\sin t>c$}

Soit $(E)$ : $a \cos t+b\sin t>c$, $(a,b)\neq (0,0)$, $(a,b,c)\in \RR^{3}$\\
$t \in \RR$ solution de $(E) \Leftrightarrow (x,y)$ solution de 
$\left\{ \begin{array}{ll}
ax+by>c & \textrm{où}\quad x=\cos t, y=\sin t\\
x^{2}+y^{2}=1 & 
\end{array} \right.$\\
$t \in \RR$ solution de $(E)\Leftrightarrow$ $M(x,y)\in\mathcal{C} \cap\mathcal{P}^{+}$ avec $x=\cos t$ et $y=\sin t$ (où $\mathcal{C}=\mathcal{C}(O,1)$, $\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y), ax+by-c>0 \right\rbrace$).\\
Pour résoudre $(E)$, on est ramené à un problème géométrique. On doit rechercher l'intersection de $\mathcal{C}$ avec $\mathcal{P}^{+}$\\
Soit $\mathcal{D}:ax+by-c=0$, $d(O,\mathcal{D})=\dfrac{\vert c \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.\\
On a donc trois cas qui apparaissent : 
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{cas1.eps}
\includegraphics[width=5cm]{cas2.eps}
\includegraphics[width=5cm]{cas3.eps}
\end{center}

$\mathcal{S}$=ensemble des solutions de $(E)$, $\mathcal{E}=\mathcal{C}\cap\mathcal{P}^{+}$\\
\\
\underline{Cas 1} : 
$d(O,\mathcal{D})>1$ $\Leftrightarrow$ $\vert c \vert>\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ie $c\neq 0$, $\mathcal{C}\cap\mathcal{D}=\o{}$\\
$c<0 \Rightarrow O\in\mathcal{P}^{+}$ (car $0*a+0*b-c>0$ ie $O\in\mathcal{P}^{+}$) donc $\mathcal{E}=\mathcal{C}$, donc  $S=\RR$\\
$c>0 \Rightarrow O\notin\mathcal{P}^{+}$ donc $\mathcal{E}=\o{}$, donc $S=\o{}$\\
\\
\underline{Cas 2} : 
$d(O,\mathcal{D})=1$ $\Leftrightarrow$ $\vert c \vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, $\mathcal{C}\cap \mathcal{D}=\left\lbrace A \right\rbrace$\\
On a $c\neq 0$ car $(a,b)\neq (0,0)$\\
$c<0 \Rightarrow O\in\mathcal{P}^{+}$ (car $0*a+0*b-c>0$ ie $0\in\mathcal{P}^{+}$) donc $\mathcal{E}=\mathcal{C}-\left\lbrace A \right\rbrace$, donc  $S=\RR-\left\lbrace \theta+2k\pi,k\in \ZZ \right\rbrace$\\
$c>0 \Rightarrow O\notin\mathcal{P}^{+}$ donc $\mathcal{E}=\o{}$, donc $S=\o{}$\\
\\
\underline{Cas 3} : 
$d(O,\mathcal{D})<1$ $\Leftrightarrow$ $\vert c \vert<\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, $c\neq 0$, $\mathcal{C}\cap \mathcal{D}=\left\lbrace A,B \right\rbrace$\\
Même raisonnement, on regarde si $O\in \mathcal{P}^{+}$. On en déduit que $\mathcal{E}$ est l'un des arcs $\widehat{AB}$\\
\\
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{compl2.eps}
\quad \quad \quad
\includegraphics[width=4cm]{compl3.eps}
\end{center}

On en déduit l'ensemble $S$ correspondant.\\

\textbf{Exercices} : résoudre les inéquations suivantes
\begin{enumerate}
\item $2\cos t+\sin t-3>0$
\item $-\sqrt{3}\cos t-\sin t+2>0$
\item $2\cos t+2\sin t-\sqrt{3}+1>0$
\end{enumerate}

\underline{Résolution} : \\
\\
1) $\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y),2x+y-3>0 \right\rbrace$ où $x=\cos t$, $y=\sin t$\\
$d(O,\mathcal{D})=\dfrac{\vert c \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}>1$ (on est donc dans le cas 1)\\
$O\notin \mathcal{P}^{+}$ ($c=3$) donc $S=\o{}$\\
\\
2) $\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y),-\sqrt{3}x-y+2>0 \right\rbrace$,
$d(O,\mathcal{D})=\dfrac{2}{\sqrt{4}}=1$ (on est donc dans le cas 2)\\
$O\in \mathcal{P}^{+}$ $(c=-2)$ donc $\mathcal{C}\cap \mathcal{P}^{+}=\mathcal{C}-\left\lbrace A \right\rbrace$, $A\in\mathcal{D}$ et $A \in \mathcal{C}$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{3}x_{A}+y_{A}=2 \\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=1 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{l}
y_{A}=2-\sqrt{3}x_{A} \\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=1 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{l}
y_{A}=2-\sqrt{3}x_{A} \\
x_{A}^{2}+(2-\sqrt{3}x_{A}^{2})=1 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{l}
y_{A}=2-\sqrt{3}x_{A} \\
4x_{A}^{2}-4\sqrt{3}x_{A}+3=0 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{l}
y_{A}=\frac{1}{2} \\
x_{A}=\frac{\sqrt{3}}{2} 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
A $\left( \begin{array}{l}
\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2} 
\end{array} \right)$\\
Donc $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OA})=\dfrac{\pi}{6}$ et $S=\RR-\left\lbrace \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\ZZ \right\rbrace$\\
\\
3) $\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y),2x+2y-\sqrt{3}+1>0 \right\rbrace$ où $x=\cos t$, $y=\sin t$\\
$d(O,\mathcal{D})=\dfrac{\vert c \vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}<1$ (on est dans le cas 3)\\
$b>0$, $\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y),y>\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-x \right\rbrace$. On cherche les coordonnées de $A,B$ avec $A \in \mathcal{D}\cap \mathcal{C}$ et $B\in \mathcal{D}\cap \mathcal{C}$\\
$\left\{ \begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=1 \\
y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}-x 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
...
$\Leftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{l}
2x^{2}+(1-\sqrt{3})x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0\\
y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}-x 
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$
A $\left( \begin{array}{l}
\frac{-1}{2}\\ 
\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array} \right)$
et B $\left( \begin{array}{l}
\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac{-1}{2}
\end{array} \right)$\\
$O\notin \mathcal{P}^{'}$ (car $2.0+2.0-\sqrt{3}+1<0$), $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OA})=\dfrac{2\pi}{3}$ et $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OB})=\dfrac{-\pi}{6}$ donc $\mathcal{C}\cap\mathcal{P}^{'}=\widehat{BA}$ ie $$S=\bigcup_{k \in \ZZ} \left\lbrace \dfrac{-\pi}{6}+2k\pi,\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \right\rbrace$$

\section{Compléments}

\subsection{Rappels}

-on définit une droite par deux points, ou par un point et un vecteur normal, ou par un point et un vecteur directeur :\\
\begin{enumerate}
\item $\left\lbrace M\in\mathcal{P},\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0 \right\rbrace$ : droite de vecteur normal $\overrightarrow{n}\neq 0$ passant par $A$
\item $\left\lbrace M\in\mathcal{P},det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})=0 \right\rbrace$ : droite de vecteur unitaire $\overrightarrow{u}\neq 0$ passant par $A$, ou encore : $\left\lbrace M\in\mathcal{P},\overrightarrow{AM}=\lambda.\overrightarrow{u} \right\rbrace$
\item $\left\lbrace M\in\mathcal{P},det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0 \right\rbrace$ : droite passant par $A$ et $B$
\end{enumerate}
-on dit que deux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont parallèles si(si) leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.\\
-si $\overrightarrow{MH}$ et $\overrightarrow{n}$ colinéaires, $\Vert\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{n}\Vert$=$\overrightarrow{n}$=$MH.\overrightarrow{n}$\\
On peut rajouter ce qui suit dans le théorème sur le régionnement du plan par une droite:\\ 
-$\mathcal{P}^{+}$ et $\mathcal{P}^{-}$ sont convexes\\
-si $M\in \mathcal{P}^{+}$ et $N\in \mathcal{P}^{-}$, alors $[MN]$ coupe la frontière $\mathcal{D}$ en un point.\\
\subsection{A revoir}

Revoir la distance d'un point $A$ à une droite $\mathcal{D}$. Si je me souviens bien $d(A,\mathcal{D})$:=$inf\left\lbrace AM,M\in \mathcal{D} \right\rbrace$. Il faut d'abord montrer que cet $inf$ est atteint, et ce au point $H=proj_{\perp,\mathcal{D}}(A)$ (par l'inégalité triangulaire, ou par le théorème de pythagore)

\subsection{Questions diverses}

Existe t-il d'autres définitions-représentations d'une droite ? \\
-Représentation paramétrique : $\mathcal{D}=A+\lambda \overrightarrow{u}$, $\lambda\in \RR$, $\overrightarrow{u}(-b,a)$ vecteur directeur de $\mathcal{D}$\\
D'où $\mathcal{D}=$ $\left( \begin{array}{l}
x_{A}-\lambda b\\
y_{A}+\lambda a
\end{array} \right)$\\
\\
Autre forme : $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{compl1.eps}
\end{center}

\subsection{distance}

Existe t-il une autre preuve du théorème 3 ?\\
Soit $N(x,y)\in\mathcal{D}$, $M(x_{0},y_{0})\in\mathcal{P}$. Alors $d(M,\mathcal{D})^{2}$=$inf\left\lbrace {MN}^{2},N\in\mathcal{D} \right\rbrace$=$inf\left\lbrace (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2},(x,y)\in\mathcal{D} \right\rbrace$ $=inf\left\lbrace (x-x_{0})^{2}+(\frac{-c}{b}-\frac{-c}{a}x-y_{0})^{2},x\in\RR \right\rbrace$ puis on étudie la fonction $f(x)=x-x_{0})^{2}+(\frac{-c}{b}-\frac{-c}{a}x-y_{0})^{2}$ (sens de variation) et on en déduit l'$inf$. On retrouve ainsi le même résultat : $inf=MH$\\ où $H=proj_{\perp,\mathcal{D}}(M)$\\
\\
\textbf{Théorème} : soit $\mathcal{D}$ la tangente à une courbe $\mathcal{C}$ en $M_{0}$, $M\in\mathcal{C}$
$d(M,\mathcal{D})=o(\vert MM_{0} \vert)$ lorsque $M\rightarrow M_{0}$ \\ie $\displaystyle\lim_{M \to M_{0}}\dfrac{d(M,\mathcal{D})}{\vert MM_{0} \vert}=0$

\subsection{tangente}

Autre définition de la tangente $\Delta$ en un point $M(x_{0},y_{0})$ ?\\
(i) : $\Delta$:$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$\\
(ii) En regardant les différentes sécantes à la courbe au point $M(x_{0},y_{0})$, il apparaît que $\Delta$ est la droite passant par $M(x_{0},f(x_{0}))$ de coefficient directeur : $\displaystyle\lim_{x \to x_{0}}\dfrac{f(x_{0})-f(x)}{x_{0}-x}$  (ce qui revient à (i))\\
\\
preuve : groupe 2

\subsection{Exercice 1}

charge maximum=42 tonnes, au maximum 30 contenaires\\
A=0.6 tonnes par contenaire, B=3 tonnes par contenaire. On veut transporter au moins 15 contenaires de type A, 8 de type B. D'où le système : \\
$\mathcal{S}=$ $\left( \begin{array}{l}
0.6x+3y\leqslant 42\\
x+y\leqslant 30\\
x\geqslant 15\\
y\geqslant 8
\end{array} \right.$\\

\subsection{Exercice 2}

Résoudre $\cos t+\sqrt{3}\sin t>1$

\begin{moyen2} On peut soit résoudre par la manière expliquée dans cet exposé, soit : \\
$\cos t+\sqrt{3}\sin t>1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{2} \cos t+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin t>\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $\cos (t-\dfrac{\pi}{3})>\dfrac{1}{2}$ \\$\Leftrightarrow$ $\exists k\in\ZZ$ tq. $-\dfrac{\pi}{3}+k.2\pi<t-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{3}+k.2\pi$ $\Leftrightarrow$ $\exists k \in \ZZ$ tq. $k.2\pi<t<\dfrac{2\pi}{3}+k.2\pi$
\end{moyen2}

Ou encore : $f(t)=\cos t+\sqrt{3}\sin t-1$ est $2\pi$ périodique, $f'(t)=-\sin t+\sqrt{3}\cos t$\\ 
$f'(t)=0$ $\Leftrightarrow$ $t=\arctan (\sqrt{3})$, puis tableau de varation...

\subsection{Preuve : régionnement du plan par une droite}

\textbf{Théorème} : soit $(a,b,c)\in \RR^{3}$ avec $(a,b)\neq (0,0)$. La droite $\mathcal{D}:ax+by+c=0$ partage le plan $\mathcal{P}$ en deux demi-plans ouverts : \\
$\mathcal{P}^{+}=\left\lbrace M(x,y), ax+by+c>0 \right\rbrace$, $\mathcal{P}^{-}=\left\lbrace M(x,y), ax+by+c<0 \right\rbrace$. On a :\\
(1) $\mathcal{P}=\mathcal{P}^{+} \bigcup \mathcal{P}^{-} \bigcup \mathcal{D}$ (réunion disjointe)\\
(2) $\mathcal{P}^{+}$ et $\mathcal{P}^{-}$ sont convexes\\
(3) Si $M\in\mathcal{P}^{+}$ et $N\in\mathcal{P}^{-}$, le segment $[MN]$ coupe la frontière $\mathcal{D}$ en un point.

\begin{preuve} : (1) triviale : la réunion est clairement disjointe, et un point $M(x,y)\in\mathcal{P}$ est soit tel que $ax+by+c=0$, soit $>0$, soit $<0$\\
(2) Montrons que $\mathcal{P}^{+}$ convexe. Soient $M(x_{M},y_{M})$ et $N(x_{N},y_{N})$ appartiennent  à $\mathcal{P}^{+}$; montrons que tout point $T(x_{T},y_{T})\in [MN]$ est dans $\mathcal{P}^{+}$ :\\
Il existe $\alpha\in[0,1]$ tq. $(x_{T},y_{T})=t(x_{M},y_{M})+(1-t)(x_{N},y_{N})$  (*), d'où $x_{T}=tx_{M}+(1-t)x_{N}$ et $y_{T}=ty_{M}+(1-t)y_{N}$, d'où \\
$ax_{T}+by_{T}+c=a(tx_{M}+(1-t)x_{N})+b(ty_{M}+(1-t)y_{N})+c$=$t(ax_{M}+by_{M}+c)+(1-t)(ax_{N}+by_{N}+c)>0$\\
(3) si $ax_{M}+by_{M}+c>0$ et $ax_{N}+by_{N}+c<0$, tout point $T$ du segment $[MN]$ possède des coordonnées $(x_{T},y_{T})$ données par (*).\\ Il s'agit donc de trouver $t\in[0,1]$ tel que $a(tx_{M}+(1-t)x_{N})+b(ty_{M}+(1-t)y_{N})+c=0$. Cette équation du premier degré en $t$ admet une unique solution puisque le coefficient $t$ n'est pas nul (car cela impliquerait que $ax_{M}+by_{M}+c$=$ax_{N}+by_{N}+c$, ce qui est absurde).
\end{preuve}


\end{document}