\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{stmaryrd} %pour faire de jolis paralleles
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% Idem pour avoir un beau symbole du si et seulement si
\def\NN{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\def\RR{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\def\CC{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\def\KK{\ensuremath{\mathbb{K}}}
%
\parindent=0pt
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%\setmarginsrb{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8} 
% {1} marge gauche, {2} est la marge en haut,{3} est la marge droite,{4} est la marge en bas, {5} fixe la hauteur de l'entête, {6} fixe la distance entre l'entête et le texte, {7} fixe la hauteur du pied de page, {8} fixe la hauteur entre le texte et le pied de page.
%
%
\date{}
%
\title{Exposé 24 : Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l'espace.}
%\author{Gwendal}
%
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\newenvironment{preuve}[1][]%
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%%
\begin{document}
\maketitle
%\tableofcontents
% (table des matières)
%\newpage
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Prérequis\footnotemark[1]} :& -Mesure algébrique\\
 & --Calcul vectoriel\\
 & -Espaces affines et vectoriels\\
 & -Géométrie élémentaire
\end{tabular} \\
%
\footnotetext[1]{Exposé tapé et présenté par Gwendal Haudebourg à Bordeaux IV le 15/11/2006. Réalisé avec \LaTeX, Inkscape pour les dessins. Leçon largement inspirée de celle de Johann.}
%
\begin{moyen2}[Cadre de la leçon] : ($\mathcal{E},\overrightarrow{\mathcal{E}}$) espace affine.
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Rappel mesure algébrique] : soit $\mathcal{D}$ une droite de $E$, $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de $\mathcal{D}$. $\forall A,B \in \mathcal{D}$, il existe un unique scalaire $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{u}$. Ce scalaire est appelé mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{AB}$ relative au vecteur unité $\overrightarrow{u}$, et est noté $\overline{AB}$ (ie $\overline{AB}$=$\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{u}}$).
\end{moyen2}

\section{Théorème de Thalès}

\begin{moyen2}[Théorème de Thalès dans le triangle] : soit deux triangles non applatis $OAA'$ et $OBB'$ tels que $A\in(OB)$ et $A'\in(OB')$, et tel que les droites $(AA')$ et $(BB')$ soient parallèles. Alors on a : \begin{center}
$\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OB}}$=$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OB'}}$=$\dfrac{\overline{AA'}}{\overline{BB'}}$
\end{center}
\end{moyen2}

\begin{preuve} : $(AA') \sslash(BB')$ donc $\exists k \in\RR$ tq. $\overrightarrow{BB}=k.\overrightarrow{AA}$. Par hypothèse $A\in(OB)$ et $A' \in(OB')$ donc $\exists(\alpha,\alpha')$ tq. $\overrightarrow{OB}=\alpha.\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB'}=\alpha.\overrightarrow{OA'}$ or $\overrightarrow{BB'}=k.\overrightarrow{AA'}$, donc $\overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OB}=k.(\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA})$, donc $(k-\alpha)\overrightarrow{OA'}$+$(\alpha-k)\overrightarrow{OA}=0$, or $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OA'}$ sont linéairement indépendants (car $O,A,A'$ ne sont pas alignés), donc $\alpha'=k= \alpha$. Donc $\overrightarrow{OB}=k.\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'}=k.\overrightarrow{OA'}$ et $\overrightarrow{BB}=k.\overrightarrow{AA'}$.\\
On obtient l'égalité souhaité en choisissant les vecteurs directeurs des doites pour la mesure algébrique. 
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{thales_1.eps}
\hspace{2cm}\includegraphics[width=5cm]{thales_2.eps}
\end{center}

\begin{moyen2}[Théorème de Thalès dans le plan] : soit $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ deux droites distinctes, $A,B,C$ (respectivement $A',B',C'$) trois points distincts appartenant à $\mathcal{D}$ (respectivement à $\mathcal{D'}$), avec $A\neq A'$, $B\neq B'$ et $C\neq C'$, et tel que $(AA'),(BB')$ et $(CC')$ soient parallèles. Alors on a : \begin{center}
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$=$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$
\end{center}
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on trace $\mathcal{D''}$ la parallèle à $\mathcal{D'}$ passant par $A$. On a des parallélogrammes $A'B'B''A$ et $A'C'C''A$, donc on a des égalitées vectorielles, et avec les triangles $AB''B$ et $AC''C$ non applatis, on se ramène au théorème de Thalès dans le triangle.
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{thales_3.eps}
\end{center}

\begin{moyen2}[Théorème (réciproque du théorème de Thalès)] : soit ($O,A,B,A',B'$) cinq points distincts d'un plan tels que $O,A,B$ soient alignés, et $O,A',B$ soient alignés. Si de plus on a  $\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OB}}$=$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OB'}}$, alors les droites $(AA')$ et $(BB')$ sont parallèles.
\end{moyen2}


\begin{preuve} : soit $B''$ le point d'intersection de $(OA')$ et de la droite $\delta$ parallèle à $(AA')$ passant par $B$. D'après le théorème de Thalès, on a $\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OB}}$=$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OB''}}$. Donc $\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OB'}}$=$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OB''}}$, donc $\overline{OB'}=\overline{OB''}$, donc $B'=B''$, donc $(BB')\sslash (AA')$.
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{reciproque.eps}
\end{center}

\section{Applications}

\subsection{Théorème de Thalès (et réciproque) dans l'espace}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit trois plans \textbf{parallèles} $\Pi_{A}$, $\Pi_{B}$ et $\Pi_{C}$, une droite $\mathcal{D}$ qui coupe respectivement ces plans en $A$, $B$ et $C$, $\mathcal{D'}$ une autre droite qui coupe respectivement ces plans en $A'$, $B'$ et $C'$. Alors : $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$=$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$ 
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on trace $\mathcal{D''}$ une droite parallèle à $\mathcal{D'}$ passant par $C$. On applique le théorème de Thalès dans le plan formé par $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D''}$ (on se ramène à une configuration de Thalès dans le plan) puis utlilisation des parallélogrammes.
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{2.eps}
\end{center}

\begin{moyen2}[Réciproque] : soit $A$, $B$, $C$ trois points d'une droite $\mathcal{D}$, et $A'$, $B'$ et $C'$ trois points d'une seconde droite $\mathcal{D'}$ ces six points sont supposés distincts deux à deux. Alors si $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$=$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$, les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles à un même plan. 
\end{moyen2}

\begin{preuve} : on trace $\Pi_{A}$, $\Pi_{B}$ et $\Pi_{C}$ des plans parallèles passant respectivement par $A$,$B$ et $C$, de vecteurs directeurs $\overrightarrow{AA'}$ et $\overrightarrow{BB'}$ (ie $\Pi_{A}$ est dirigée par $(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BB'}$) passant par $A$, etc...). Le plan $\Pi_{A}$ contient donc $(AA')$, $\Pi_{B}$ contient donc $(BB')$, et $\Pi_{C}$ coupe $\mathcal{D'}$ en un point $C''$. Par le théorème de Thalès, on a donc : $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$=$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C''}}$. Or $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$=$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$, donc $C'=C''$, donc le plan $\Pi_{C}$ contient la droite $(CC')$, donc les plans $\Pi_{A}$, $\Pi_{B}$ et $\Pi_{C}$ passent par respectivement $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$, et de mêmes vecteurs directeurs, donc ces trois plans sont parallèles.
\end{preuve}

rem : cette preuve est l'analogue de celle dans le plan.

\subsection{Projection dans le plan}

\begin{moyen2}[Définition]{(Projection)} : 
Soit $\Delta$ et $\mathcal{D}$ deux droites sécantes du plan $\mathcal{P}$. La projection sur $\mathcal{D}$ parallèlement à $\Delta$ est l'application  $p$ :
\begin{tabular}[t]{rlc}
$\mathcal{P}$ & $\to$ & $\mathcal{P}$ \\
$M$ & $\mapsto$ & $M'$\\
\end{tabular} tel que $M'\in\mathcal{D}$ et $(MM') \sslash \Delta$
\end{moyen2}

remarque : un tel point $M'$ existe et est unique puisque $\mathcal{D}$ et $\Delta$ n'ont pas la même direction (car sont sécantes).

\begin{moyen2}[Proposition]: $p\circ p=p$ et $Fix(p)=\mathcal{D}$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Théorème]: l'application $p$ est affine, autrement dit l'application vectorielle associée $\pi$ :
\begin{tabular}[t]{rlc}
$\mathcal{\overrightarrow{P}}$ & $\to$ & $\mathcal{\overrightarrow{P}}$ \\
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MN}$ & $\mapsto$ & $\overrightarrow{M'N'}$\\
\end{tabular} où $M'=p(M)$ et $N'=p(N)$ est LINEAIRE.
\end{moyen2}

remarque : le théorème de Thalès intervient dans la preuve qui suit. On a donc besoin de Thalès (si l'on suit le plan utilisé) pour montrer le caractère affine des projections dans le plan (idem dans l'espace).

\begin{preuve} : -$\pi$ est bien définie car ne dépend pas du choix du vecteur $\overrightarrow{MN}$, représentant choisi pour $\overrightarrow{u}$ : \\ si $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{M_{2}N_{2}}$ alors $\pi(\overrightarrow{MN})=\pi(\overrightarrow{M_{2}N_{2}})$).\\
-soit $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in\overrightarrow{\mathcal{P}}$. $\exists M,N,P\in\mathcal{P}$ tq. $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{NP}$, donc $\pi(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP})$=$\pi(\overrightarrow{MP})=\overrightarrow{p(M)p(P)}$=$\overrightarrow{p(M)p(N)}$+$\overrightarrow{p(N)p(P)}$=$\pi(\overrightarrow{MN})$+$\pi(\overrightarrow{MN})$. Donc $\pi(\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v})$=$\pi(\overrightarrow{u})$+$\pi(\overrightarrow{v})$\\
-Montrons que $\pi(\lambda.\overrightarrow{u})=\lambda.\pi(\overrightarrow{u})$. Soit $\overrightarrow{u}\in\overrightarrow{P}$, $\lambda\in\RR^{*}$. $\exists M,N\in\mathcal{P}$ tq. $\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{MN}$ et $\lambda.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MP}$. De plus $(MM')\sslash (NN') \sslash (PP')$, donc par le théorème de Thalès : $\dfrac{\overline{M'N'}}{\overline{N'P'}}$=$\dfrac{\overline{MN}}{\overline{MP}}$=$\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda.\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{M'P'}$, ie $\lambda.\pi(\overrightarrow{u})$=$\pi(\lambda.\overrightarrow{u})$
\end{preuve}

\subsection{Le théorème de Desargues}

Le théorème suivant est vrai dans un espace affine quelconque.

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles non plats d'un espace affine avec $A,A'$ distincts ainsi que $B,B'$ et $C,C'$. Si les côtés $[AB]$,$[BC]$,$[CA]$ du premier triangle sont respectivement parallèles aux côtés $[A'B']$,$[B'C']$,$[C'A']$ du second, les droites $(AA')$,$(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles ou concourantes.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : si $(AA')$,$(BB')$,$(CC')$ ne sont pas parallèles, deux d'entre elles, par exemple $(AA')$ et $(BB')$ se coupent en un point $I$. Par parallélisme de $(AB)$ et $(A'B')$ et le théorème de Thalès, on a $\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IA}}$=$\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IB}}=k$. Soit $C''$ le point de la droite $(IC)$ tel que $\dfrac{\overline{IC''}}{\overline{IC}}=k$; par la réciproque du théorème de Thalès plan, $\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{IC''}}{\overline{IC}}$ implique $(AC)\Vert (A'C'')$ et $\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IB}}=\dfrac{\overline{IC''}}{\overline{IC}}$ implique $(BC)\Vert (B'C'')$; on a donc $(A'C'')=(A'C')$ et $(B'C'')=(B'C')$ d'où $C''=C'$ puisque ces deux points sont à l'intersection de $(A'C')$ et $(B'C')$. $C'$ est donc alignés avec $I$ et $C$ : $(AA'),(BB')$ et $(CC')$ concourantes. Lorsque $(AA')$ et $(BB')$ sont parallèles, $ABB'A'$ est un parallélogramme. Soit $C''$ tel que $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}$ : $ACC''A'$ et $BCC''B'$ sont donc des parallélogrammes et l'on a $(AC)\sslash(A'C'')$ et $(BC)\sslash(B'C'')$; on termine comme précédemment.
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{desargues_1.eps}
\hspace{2cm}\includegraphics[width=5cm]{desargues_2.eps}
\end{center}

\subsection{Le théorème de Pappus}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $\Delta$ et $\Delta'$ deux droites distinctes d'un plan affine, $A,B,C$ trois points distincts sur $Delta$, et $A',B',C'$ trois points distincts sur $\Delta'$ (tous distincts du point d'intersection éventuel de $\Delta$ et $\Delta'$). Alors, si $(AB')$ est parallèle à $(BA')$ et si $(BC')$ est parallèle à $(CB')$, alors $(CA')$ est parallèle à $(AC')$.
\end{moyen2}

\begin{preuve} : si $\Delta$ et $\Delta'$ sont sécantes en $I$ : par le théorème de Thalès, le parallélisme de ($AB'$) et $(A'B)$ (resp.de $(BC')$ et $(B'C)$) implique $\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IB'}}$=$\dfrac{\overline{IB}}{\overline{IA}}$ (resp. $\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IC'}}$=$\dfrac{\overline{IC}}{\overline{IB}}$). Par multiplication de ces égalités, on obtient $\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IC'}}$=$\dfrac{\overline{IC}}{\overline{IA}}$ et la réciproque du théorème de Thalès implique que $(AC')$ est parallèle à $(A'C)$.\\
Si $\Delta$ et $\Delta'$ sont parallèles, l'hypothèse du théorème fait que $ABA'B'$ et $BCB'C'$ sont des parallélogrammes; on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B'A'}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{C'B'}$, et par addition de ces égalités : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA'}$; on en déduit que $ACA'C'$ est un parallélogramme et que $(AC')$ est parallèle à $(A'C)$.
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{pappus_1_2007.eps}
\hspace{2cm}\includegraphics[width=5cm]{pappus_2_2007.eps}
\end{center}

\subsection{Le théorème de Ménélaüs}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $ABC$ un triangle non applati, et $M,N,P$ trois points appartenant aux droites respectives $(AB),(AC),(BC)$, distincts des sommets de $ABC$. Alors : $M,N,P$ alignés $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}$.$\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=1$
\end{moyen2}

\begin{preuve} : $ (\Rightarrow)$ la parallèle à $(MP)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $K$. Le théorème de Thalès entraine : $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$=$\dfrac{\overline{MB}}{\overline{MK}}$ et $\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}$=$\dfrac{\overline{MK}}{\overline{MA}}$ donc $\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}$.$\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=1$\\
($\Leftarrow$) si $M,N,P$ vérifient $\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}$.$\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=1$, notons $\lbrace P' \rbrace$=$(MN)\cap(BC)$. Donc d'après la condition nécéssaire du théorème de Ménélaüs : $\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}$.$\dfrac{\overline{P'B}}{\overline{P'C}}$.$\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=1$, donc $\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}$.$\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}$.$\dfrac{\overline{P'B}}{\overline{P'C}}$.$\dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}$ \\donc $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$=$\dfrac{\overline{P'B}}{\overline{P'C}}$ d'où $P=P'$
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{menelaus_2.eps}
\end{center}

\subsection{Le théorème de Ceva}

\begin{moyen2}[Théorème] : soit $ABC$ un triangle non applati, et $P,Q,R$ trois points appartenant aux droites respectives $(BC),(CA),(AB)$, distincts des sommets de $ABC$. Alors :\\ $(AP),(BQ),(CR)$ sont concourantes ou parallèles $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QA}}$.$\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=-1$
\end{moyen2}

remarque : ce théorème implique que les médianes d'un triangle sont concourantes, car les trois rapports figurant dans la relation donnée sont égaux à -1.

\begin{preuve} :$ (\Rightarrow)$ on peut déduire le théorème de Ceva de celui de Ménélaüs : si les trois droites se coupent en $G$, la droite $(CR)$ coupe les côtés du triangle $ABP$ en $C,G,R$. Par le théorème de Ménélaüs, on a $\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}$.$\dfrac{\overline{CB}}{\overline{CP}}$.$\dfrac{\overline{GP}}{\overline{GA}}=1$. De même, la droite $(BQ)$ coupe les côtés du triangle $APC$ en $B,G,Q$ donc $\dfrac{\overline{GA}}{\overline{GP}}$.$\dfrac{\overline{BP}}{\overline{BC}}$.$\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QA}}=1$. En multipliant les deux égalités obtenues, on obtient $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QA}}$.$\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=-1$ \\
($\Leftarrow$) Réciproquement, supposons $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QA}}$.$\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=-1$. Si les droites $(AP),(BQ),(CR)$ ne sont pas parallèles, deux d'entres elles, par exemple $(AP)$ et $(BQ)$ se coupent en un point $G$. La droite $(CG)$ coupe alors $(AB)$ en un point $R'$ : en effet si elle était parallèle à $(AB)$, le théorème de Thalès impliquerait $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=-\dfrac{\overline{QA}}{\overline{QC}}$ car ces deux rapports sont égaux à $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{GC}}$, ce qui impliquerait avec l'hypothèse $\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=1$ ce qui est absurde.\\
Le théorème de Ceva dans le sens direct implique $\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$.$\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QA}}$.$\dfrac{\overline{R'A}}{\overline{R'B}}=-1$, ce qui entraîne $\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}$=$\dfrac{\overline{R'A}}{\overline{R'B}}$, d'où $R=R'$. Les trois droites initiales concourent donc en $G$.
\end{preuve}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{ceva_1.eps}
\hspace{2cm}\includegraphics[width=5cm]{ceva_2.eps}
\end{center}

\section{Compléments}

\subsection{Changements 2006}

Attention aux changements par rapport à l'année 2005 : le titre change (anciennement : Théorème de Thalès. \textbf{Projection dans le plan et l'espace. Caractère affine des projections}). Plan en 2005 : après le théorème de Thalès, les projections.\\
-En 2005, on pouvait présenter la leçon de deux façons : soit présenter le théorème de Thalès en premier (preuve via mesure algébrique), puis les projections (preuves via le théorème de Thalès) : c'est le choix dans cette leçon; soit définir d'abord les projections, puis le théorème de Thalès via les projections).\\
-Pour plus d'infos sur les preuves des projections : cf. exposé 33.\\

\subsection{Projection dans l'espace}

Soit $(E,\overrightarrow{E})$ un espace affine. Si $F$ est un sous-espace affine de $E$, on note $F=A+\overrightarrow{F}$:=$\lbrace M\in E,\overrightarrow{AM}\in\overrightarrow{F} \rbrace$

\begin{moyen2}{Définition} : soit $F$ et $G$ deux sous-espaces affines de $E$ de direction respectives $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{G}$, supplémentaires dans $\overrightarrow{E}$ (ie $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{F}\oplus\overrightarrow{G}$ : $E=F+G$ et $F\cap G=\lbrace O_{E} \rbrace$ ).\\
La projection sur $F$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$ est l'application $p$ :
\begin{tabular}[t]{rlc}
$E$ & $\to$ & $E$ \\
$M$ & $\mapsto$ & $M'$\\
\end{tabular} tel que $F\cap (M+\overrightarrow{G})=\lbrace M' \rbrace$
\end{moyen2}

\begin{moyen2}[Théorème]: la projection $p$ sur $F$ parallelement à $G$ est affine, autrement dit l'application vectorielle associée $\pi$ :
\begin{tabular}[t]{rlc}
$\mathcal{\overrightarrow{P}}$ & $\to$ & $\mathcal{\overrightarrow{P}}$ \\
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MN}$ & $\mapsto$ & $\overrightarrow{M'N'}$\\
\end{tabular} où $M'=p(M)$ et $N'=p(N)$ est LINEAIRE.
\end{moyen2}

\textbf{Propriété} : les projections conservent les barycentres, l'alignement, les rapports des mesures algébriques, les rapports des mesures vectorielles.

\begin{preuve} : soit $p$ application affine, donc propriétés vraies (ce sont mêmes des caractérisations des applications affines).
\end{preuve}


\end{document}